机器视觉基础(2)---坐标与矩阵变换

坐标与矩阵变换时矩阵论的基础，也是机器人，机器视觉技术的基础。这本加州理工的教材沿用了机器人技术中的表达方式。这里记录一下
ps:MIT Ocw课程《线性代数》真的非常非常有用，原本一知半解的问题现在都明白了。

空间中的一个向量

空间中的一个向量就是空间中的一个向量。

就像来自遥远宇宙的一束光，不知道它从哪里来，也不知道它到哪里去，从我们头上掠过，波澜不惊。

好了，这句看起来很装逼的话其实可以用向量空间的语言来解释。

1. 不知道它在它老家的 坐标系 中是如何表达的，但是那个坐标系肯定存在，而且它的目的地在那个坐标系中有个坐标，从起点到终点的连线就是这道光。或者说这个向量
2. 也不知道它到哪里去。它的终点也一定有个 坐标系 记录了这道光到达的位置，和它飞来的方向。也是一个向量。
3. 作为一个地球人，我们看见这道光从头上飞了过去，我们看见了它的指向，从一个点，指向另一个点。光还是这道光。

这表示，空间中的一个向量有很多表达方式，但是向量还是这个向量，本质没变。用向量空间符号表示为：

[AiAjAk]⎡⎣⎢⎢AxAyAz⎤⎦⎥⎥=[BiBjBk]⎡⎣⎢BxByBz⎤⎦⎥

向量坐标的关系

从向量表示，可以看出AP 和 BP 存在一定关系，这种关系可以表示为：

[AiAjAk]⎡⎣⎢⎢AxAyAz⎤⎦⎥⎥=[BiBjBk]⎡⎣⎢BxByBz⎤⎦⎥

⎡⎣⎢BiBjBk⎤⎦⎥[AiAjAk]⎡⎣⎢⎢AxAyAz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢BiBjBk⎤⎦⎥[BiBjBk]⎡⎣⎢BxByBz⎤⎦⎥

⎡⎣⎢BiBjBk⎤⎦⎥[AiAjAk]⎡⎣⎢⎢AxAyAz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢BxByBz⎤⎦⎥

⎡⎣⎢⎢BiAiBjAiBkAiBiAjBjAjBkAjBiAkBjAkBkAk⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢AxAyAz⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢BxByBz⎤⎦⎥

记作

BARAP=BP

R表示坐标系之间的旋转矩阵，P表示坐标。左上标均表示坐标系。给出坐标系A，B之间旋转关系，就可以由公式求出R。从而得到A、B中点的坐标变换关系。

旋转矩阵的性质

1. 旋转矩阵式单位阵，这很好理解，旋转变换时刚体变换，其雅可比行列式必然为1。

2. 旋转矩阵的逆矩阵R−1 是它的逆矩阵RT 这也很好理解，从计算方法里可以看出。

坐标原点不重合的情况

上述表达只适用于坐标系分别绕各个轴旋转后的结果，不适用于原点不重合的情况，如果坐标原点不重合，则

BP=BARAP+BOA

其中BOA 表示的是点OA在B坐标系中的坐标。
这个操作相当于将A坐标系中的点先旋转然后再平移，平移的方向是A坐标系的原点在Ｂ坐标系中的坐标。也就是Ｂ坐标系原点指向Ａ坐标系原点的向量。Ａ坐标系中的点加上向量Ｂ－Ａ就变成了Ｂ坐标系中的点。

刚体变换的齐次坐标表示

如果写成齐次坐标的形式有。

(BP1)=BAT(AP1)

BAT=[BAR0TBOA1]

坐标中点的变换

坐标中点的变换是指，如果坐标中有两个点，那么这两个点之间应该存在某种变换关系。比如在F坐标系中有两点P 和 P′，首先将问题退化成旋转变化，这样比较简单。并且具有推广性。
那么可以写作

P′=RP

OP=[AiAjAk]⎡⎣⎢PxPyPz⎤⎦⎥

OP′=[BiBjBk]⎡⎣⎢PxPyPz⎤⎦⎥

上式描述的是，如果在A坐标系中存在另外一个坐标系B，是的P’的坐标值和P在A中的坐标值相等。

OP′=[BiBjBk]⎡⎣⎢PxPyPz⎤⎦⎥=[AiAjAk]⎡⎣⎢Px′Py′Pz′⎤⎦⎥

⎡⎣⎢⎢AiAjAk⎤⎦⎥⎥[BiBjBk]⎡⎣⎢PxPyPz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢Px′Py′Pz′⎤⎦⎥

RP=P′

R=ABR

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