Luogu P3694 邦邦的大合唱站队

题目描述

$N$ 个偶像排成一列，他们来自 $M$ 个不同的乐队（ $1\le N \le 10^5$ ， $1\le M \le 20$ ）。每个团队至少有一个偶像。

现在要求重新安排队列，使来自同一乐队的偶像连续的站在一起。重新安排的办法是，让若干偶像出列（剩下的偶像不动），然后让出列的偶像一个个归队到原来的空位，归队的位置任意。

请问最少让多少偶像出列？

思路

首先，DP题的第一个难点就是判断它是否可以用DP解决。而我们通过题目可以观察到：题目解决的是每个组的排列问题，同时题目中的乐队数 $M$ 非常的小，所以可以考虑用状压DP解决。
接下来，我们可以设 $f_i$ 为状态为 $i$ 时安排好队列所需的最小出列人数。然后，可以得到这样的状态转移方程：

f[i]=min(f[i],f[i^(1<<(j-1))]+num[j]-sum[len][j]+sum[len-num[j]][j]);

其中的 $j$ 代表当前正在处理的乐队的编号，而 $f_{i^(1<<(j-1))}$ 代表将乐队 $i$ 中的第 $j$ 个人的状态取反（ $j=1$ 代表已出列， $j=0$ 代表没有）。

为了解决这个问题，我们可以尝试将该合唱团的全部团员放在队尾。

此时，我们需要将不在 $len-num_j+1$ 到 $num_j$ 中的队员移进来（len为处理完成的人数，该区间就是此团队在排列完的队列中所在的位置）

需要的代价为 $num_j-sum_{len,j}+sum_{len-num_j,j}$ ，这里的 $sum$ 代表前 $i$ 个位置中属于团队 $j$ 的团员个数，我们可以在初始化中完成这个操作。

最后是~~damn~~代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\n' 
using namespace std;
const int maxn=21,maxm=100005;
int n,m;
int f[1<<maxn],num[maxn],sum[maxm][maxn];
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        num[x]++;//每个乐队的成员数
        for(int j=1;j<=m;j++)sum[i][j]=sum[i-1][j];
        sum[i][x]++;//前i人中属于团队j的成员人数
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;//没有偶像出列
    for(int i=0;i<(1<<m);i++){
        int len=0;//已安排位置人数
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i&(1<<(j-1)))len+=num[j];
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i&(1<<(j-1)))f[i]=min(f[i],f[i^(1<<(j-1))]+num[j]-sum[len][j]+sum[len-num[j]][j]);
        }
    }
    cout<<f[(1<<m)-1]<<endl;//状态为2^m-1时的最优解
    return 0;
}