一个由凸透镜成像引出的数学问题（半成品

一个由凸透镜成像引出的数学问题

原问题

B站 一道光学题引发的思考

题目大意：光具座上有一凸透镜，焦距为 $f$。现有一半径为 $r(r<f)$ 的圆环，圆心在主光轴上离光心 $2f$ 处。在不考虑遮掩的情况下，求证该圆的像为椭圆。

一般化

图示：(如下方演示不能使用，请 去 desmos 浏览）

对于参数方程

（这里为了避免讨论绝对值，直接按照绘制像的方法计算，而不使用凸透镜成像公式）

假设图形为 $G: \begin{cases}x=g(t)\\y=h(t)\end{cases}$，凸透镜右边的焦点在 $D(f,0)$

取图形上任意一点 $B(g(t),h(t))$

过 $B$ 作 $x$ 轴平行线交 $y$ 轴于 $C(0,h(t))$，连接 $BO$ 并延长交 $CD$ 于点 $P$

不难得到 $BO:y=\dfrac{h(t)}{g(t)}x,CD:y=-\dfrac{h(t)}{f}x+h(t)$

由此可以算出 $P$ 的轨迹为 $H: \begin{cases}x=\dfrac{g(t)f}{g(t)+f}\\y=\dfrac{h(t)f}{g(t)+f}\end{cases}$

对于单值函数

即 $g(t)=t,H: \begin{cases} x=\dfrac{tf}{t+f}\\ y=\dfrac{h(t)f}{t+f} \end{cases}$

$\begin{aligned} tx+fx&=tf\\ t&=-\dfrac{fx}{x-tf}=\dfrac{fx}{f-x} \end{aligned}$

$\therefore \dfrac{f}{t+f}=\dfrac{f}{\dfrac{fx+f^2-fx}{f-x}}=\dfrac{f-x}{f}$

于是 $P$ 运动轨迹为 $F(x)=\dfrac{h(\dfrac{fx}{f-x})(f-x)}{f}$

解题

对于圆

即 $G: \begin{cases}x=r\cos t+x_0\\y=r\sin t+y_0\end{cases}\quad(x_0<0)$

$H: \begin{cases} x=f\dfrac{r\cos t+x_0}{r\cos t+x_0+f}&(1)\\ y=f\dfrac{r\sin t+y_0}{r\cos t+x_0+f}&(2) \end{cases}$

由 $(1)$ 得：

$\begin{aligned} xr\cos t+xx_0+fx&=fr\cos t+fx_0\\ r(x-f)\cos t&=(f-x)x_0-fx\\ r\cos t&=-x_0-\dfrac{fx}{x-f} \end{aligned}$

于是 $r\cos t+x_{0}+f=-\dfrac{f^{2}}{x-f}$，将其带入 $(2)$ 得：

$\begin{aligned} -y\dfrac{f^2}{x-f}&=fr\sin t +fy0\\ r\sin t&=-y\dfrac{f}{x-f}-y_0 \end{aligned}$

由 $\sin^2 t+\cos^2t=1$ 得到：

$$\begin{aligned} \left(x\frac{f}{x-f}+x_{0}\right)^{2}+\left(y\frac{f}{x-f}+y_{0}\right)^{2}&=r^{2}\\ (xf+x_0(x-f))^2+(yf+y_0(x-f))^2&=r^2(x-f)^2 \end{aligned}$$

显然这是一个二次方程，将其展开：

$$\begin{aligned}% [x^{2}f^{2}+x_{0}^{2}\left(x-f\right)^{2}+2xx_{0}f\left(x-f\right)]+[y^{2}f^{2}+y_{0}^{2}\left(x-f\right)^{2}+2yy_{0}f\left(x-f\right)]&=r^{2}\left(x-f\right)^{2}\\ \boxed{ x^{2}f^{2}+x_{0}^{2}\left(x^{2}+f^{2}-2xf\right)+2xx_{0}f\left(x-f\right) }+ \boxed{ y^{2}f^{2}+y_{0}^{2}\left(x^{2}+f^{2}-2xf\right)+2yy_{0}f\left(x-f\right) }&=r^{2}\left(x^{2}+f^{2}-2xf\right)\\ \boxed{ x^{2}f^{2}+x_{0}^{2}x^{2}+x_{0}^{2}f^{2}-2xx_{0}^{2}f+2xx_{0}f\left(x-f\right) }+ \boxed{ y^{2}f^{2}+y_{0}^{2}x^{2}+y_{0}^{2}f^{2}-2y_{0}^{2}xf+2yy_{0}f\left(x-f\right) }&=r^{2}x^{2}+r^{2}f^{2}-2r^{2}xf\\ \boxed{ x^{2}f^{2}+x_{0}^{2}x^{2}+x_{0}^{2}f^{2}-2xx_{0}^{2}f+2x^{2}x_{0}f-2xx_{0}f^{2} }+ \boxed{ y^{2}f^{2}+y_{0}^{2}x^{2}+y_{0}^{2}f^{2}-2y_{0}^{2}xf+2yy_{0}fx-2yy_{0}f^{2} }&=r^{2}x^{2}+r^{2}f^{2}-2r^{2}xf\\ \boxed{ {\color{red}{f^2x^2}+x_{0}^{2}x^{2}} +x_{0}^{2}f^{2} {\color{green}{-2x_{0}^{2}fx} } {\color{red}{+2x_{0}fx^{2}} } {\color{green}{-2x_{0}f^{2}x} } }+ \boxed{ {\color{blue}{f^{2}y^{2}} } {\color{red}{+y_{0}^{2}x^{2}} } +y_{0}^{2}f^{2} {\color{green}{-2y_{0}^{2}fx} } +2y_{0}fxy {\color{brown}{-2y_{0}f^{2}y} } }&= {\color{red}{r^{2}x^{2}} } +r^{2}f^{2} {\color{green}{-2r^{2}fx} }\\ \left(f^{2}+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+2x_{0}f\right)x^{2}+2y_{0}fxy+f^{2}y^{2}-2f\left(x_{0}^{2}+x_{0}f+y_{0}^{2}-r^{2}\right)x-2y_{0}f^{2}y+f^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}\right)&=0\\ \left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+f^{2}+2x_{0}f\right)x^{2}+2y_{0}fxy+f^{2}y^{2}-2f\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+x_{0}f\right)x-2y_{0}f^{2}y+f^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}\right)&=0 \end{aligned}$$

令：$\begin{cases} A=\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+f^{2}+2x_{0}f\right)\\ B=2y_{0}f\\ C=f^{2}\\ D=-2f\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+x_{0}f\right)\\ E=-2y_{0}f^{2}\\ F=f^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}\right)\\ \end{cases}$

得到标准形式：$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

于是

$$\begin{aligned} I_2&=AC-\frac{B^{2}}{4}\\ &=f^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+f^{2}+2x_{0}f\right)-y_{0}^{2}f^{2}\\ &=f^{2}\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}+f^{2}+2x_{0}f-y_{0}^{2}\right)\\ &=f^{2}\left(\left(x_{0}+f\right)^{2}-r^{2}\right)\\ &=f^{2}\left(x_{0}+f-r\right)\left(x_{0}+f+r\right) \end{aligned}$$

显然 $I_2>0\Leftrightarrow(x_0-r>-f)\or(x_0+r<-f)$

（其实应该还要计算 $I_1$ 和 $I_3$ 的，不过我懒得打了

即当圆与直线 $x=-f$ 相离时，所成像为椭圆。

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更通用的演示：https://www.desmos.com/calculator/qe0aqmvhyg