二叉树最近共同祖先问题

最近共同祖先问题

       Union/Find 数据结构的一个例子是离线的最近共同祖先（NCA） 问题。

  给定一棵树和树中节点对的列表，对每一个节点对需找到其最近的共同祖先。

图中显示了一棵树，其带有一个含5个请求的对偶列表。对于节点对u和z，节点C是最近的共同祖先（思考 A和B是否满足条件？）。该问题为离线的，因为我们在提供第一个答案之前就能看到整个请求序列 。

     算法描述   该算法通过执行树的后根遍历来实现. 当我们准备从处理一个节点中返回时，我们要检查对偶列表看看是否有任何关于它的祖先计算要被执行. 如果u为当前节点，（u，v）在对偶列表中，并且我们已经完成了对v的递归调用，那么我们就有足够的信息来决定NCA(u，v) 。

为什么会有这个结论呢？带着这个问题，我们继续向下看。

为了理解该算法是如何运行的，让我们来观察图。这里将要实现对D的递归调用. 在图中： 所有标记有阴影的节点都已经在一次递归调用中被访问过； 除了通向D路径上的所有节点，所有的递归调用都已经被完成. 当对一个节点的递归调用完成后，我们就对该节点做好标记； 如果v被标记了，那么NCA(D，v)就是通往D路径上的某个节点；

结合后根遍历，被访问的节点是否一定被标记？

  为了说明方便，我们引入一个新的概念——锚（anchor）

   一个被访问过的节点v的锚 即为在当前访问路径上最靠近v的节点. 在图中，p的锚是A，q的锚是B，r尚未被锚定因为其还未被访问过，基于r是首次被访问我们认为r的锚是其本身. 如图所示，在当前访问路径上的每个节点都是一个锚（至少是其本身的），而且，被访问过的节点构成了一个个等价类：如果两个节点拥有共同的锚那么这两个节点是相关的，并且我们认为每个未被访问过的节点处于自己构成的类中.

    1.  如果以各子树的根节点来命名其所在的等价类，能否说一个节点的锚即为其当前所在等价类的名称？ 
    2．一个节点的锚是固定不变的吗？

 现在,再次假定(D，v)在对偶列表中，那么我们有以下三种情况：

v未被标记，我们就无法计算NCA(D，v).

 v被标记且它在D的子树中，这时NCA(v，D)＝D.

 v被标记但它不在D的子树中，这时NCA(v，D)就等于v的锚。

    综上，就是要确保在任何情况下，我们都能确定任一被访问节点的锚. 通过使用Union/Find算法很容易做到这一点. 一次递归调用返回后，我们调用Union，例如，在上图中,对D的递归调用返回后，所有D中的节点都使它们的锚由D变为C，这时我们就需要将两个等价类合并成一个. 在任何一点，我们都能够通过调用Find操作来得到顶点v的锚. 因为Find返回一个集合序号，这样我们就可以使用数组Anchor来存储对应于特定集合的锚节点.

另外，还可参考：

http://blog.csdn.net/zhaohuiy/article/details/4660877

http://blog.csdn.net/yinxusen/article/details/6265524