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考虑随机游走状的高斯消元：对于题目中的一个可重集 $S$，令 $f_S$ 表示，从 $S$ 开始期望多少天后走到和 $\ge m$ 的集合。

则有两种转移，分别对应摆烂或不摆烂：

（定义多重集减一个数为该集合去除一个该数，$\min\{S\}$ 为多重集中最小元素，$S \cup T$ 为两个多重集并）

$$f_S=p(1+f_{S-\min\{S\}})+\frac{1-p}{\min\{S\}}\sum_{i=1}^{\min\{S\}}(1+f_{S\cup \{i\}})$$

$$f_S=1+pf_{S-\min\{S\}}+\frac{1-p}{\min\{S\}}\sum_{i=1}^{\min\{S\}}f_{S\cup \{i\}}$$

暴力可以依据这个式子高斯消元，可以求出每个 $f$。

考虑把状态之间的依赖关系画出来，容易发现这是一棵树，即 $S-\min\{S\}$ 对应 $S$ 在状态树上的父亲，$S\cup \{i\}$ 对应它的每个儿子。

则即

$$\begin{equation}f_u=1+pf_{fa_u}+\frac{1-p}{\min\{u\}}\sum_{v\in son_u}f_v\end{equation}$$

此树的叶子即为和 $\ge m$ 的状态。

如果状态数比较少，我们可以从叶子开始向上推出每个节点的 $f$，但这里显然状态数很大很大。

注意到对于一个状态 $S$，如果 $S$ 的最小值、和是确定的，它的子树形态也是确定的。

那么将所有 $(\min,\text{sum})$ 相同的节点归为一个等价类，这样一共有 $\Theta(nm)$ 个等价类。

但是一个等价类内的 $f$ 是不一样的。我们发现一个等价类的儿子是确定的等价类（们），但是父亲是不确定的，因为不知道一个多重集去除最小值后最小值是否改变。

即便如此，观察 $(1)$ 式，对于 $\text{sum}\ge m$ 的等价类的节点，他们不存在儿子节点，因此 $f_u=1+pf_{fa_u}$。即 $f_{fa_u}$ 和 $f_u$ 间存在一次关系式。

归纳地，对于一般的节点 $u$ ，若知道了 $f_u$ 和每个儿子的 $f_v$ 的一次关系式，我们可以将这个关系代入 $(1)$ 式，消去所有和儿子有关的未知量，得到 $f_{fa_u}$ 和 $f_u$ 的一次关系式。

因此，对于同一等价类中的所有节点，他们的 $f$ 和其父亲的 $f$ 存在固定的一次关系。

若我们求出了每个等价类的这个一次关系，则由于询问的 $S$ 到根的路径是可以求出的，我们由根的 $f$ 递推到 $S$ 的 $f$ 就解决了此题。

求所有关系是相对容易的，对于状态 $(\min=x,sum=y)$，子状态形如 $(z,y+z)$，其中 $1\le z\le x$。

假设一次关系形如 $f_{(x,y)}=k_{(x,y)}f_{fa_(x,y)}+b_{(x,y)}$，则要求的就是 $\sum_{z=1}^xk_{(z,y+z)}$ 以及 $\sum_{z=1}^xb_{(z,y+z)}$。

前缀和优化即可，复杂度 $\Theta(nm+q+\sum|S|)$。