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CF1540D Solution

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题意：

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，支持以下操作：

1 x y：令 $a_x\gets y$。

2 x：构造 $1\sim n$ 的排列 $p$，满足 $\forall i\in[1,n]$，$p_1\sim p_{i-1}$ 恰有 $a_i$ 个数大于 $p_i$。求 $p_x$。

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为方便，将 $a_i\gets i-a_i$，这样 $a_i$ 就是 $p_1\sim p_i$ 中 $p_i$ 的排名。

手玩一下构造。假设有 $a=\{1,2,2,1,3\}$，从 $1$ 到 $5$ 逐个构造 $p_i$。

a : 1 2 2 1 3
p : 1
p : 1 2
p : 1 3 2
p : 2 4 3 1
p : 2 5 4 1 3

你发现每次构造 $p_i$ 时就是将 $p_i\gets a_i$，将前面所有 $\ge a_i$ 的 $p$ 全部 $+1$。

这里有重要性质：每次构造只会影响前面已构造的 $p$，不会影响到后面还没构造的 $p$。

回到原题，题目每次要求 $p_x$，那么根据上面的性质，我们直接从 $p_x$ 开始构造，并计算构造后面 $p$ 时对 $p_x$ 的影响。

那么询问转化为，初始 $ans=p_x$，然后从 $x+1$ 枚举到 $n$，如果 $ans\ge a_i$ 则 $ans\gets ans+1$。

考虑序列分块，块长为 $B$。我们尝试在每块内维护 $nxt_x$ 表示数 $x$ 从块左端点走到右端点会增加多少。

那么由于块长为 $B$，$nxt$ 的值全部都 $\le B$ 且单调不降。

即 $nxt$ 可以被看做一个只有 $B$ 种取值的分段函数，函数值分别为 $1,2,3,\cdots,B$。

我们直接维护块内的分段函数的 $B$ 个自变量边界，询问暴力跳块用 upper_bound 询问函数值即可。

最后处理单点修改。考虑每块开线段树，线段树结点维护它对应区间的分段函数边界，push_up 直接线性归并即可。

这样单点修改复杂度是 $\displaystyle\sum_{i}\frac B{2^i}=\mathcal O(B)$ 的。

复杂度是 $\mathcal O(n(B+\frac n B\log n))$ 的，取 $B=\sqrt{n\log n}$，最终时间 $\mathcal O(n\sqrt{n\log n})$，空间 $\mathcal O(n\log n)$。

听说可以分散层叠 $\mathcal O(n\sqrt n)$（？

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upd：好像不用分散层叠也可以 $\mathcal O(n\sqrt n)$

具体地，把询问和修改塞到每个块中，离线从左到右逐块处理，

每个块的修改操作将询问分成若干段，每段内线段树根节点的形态是一样的。于是可以双指针直接扫。

注意双指针之前要把同一段中的询问按照它本来的 $ans$ 排序，这个排序用快排复杂度会退化，用计数排序即可。

还有为了做到线性空间，我们在塞询问时只把询问塞到最左边的块，然后处理完这个块把询问塞到下一个块中。

时间复杂度是 $\mathcal O(n\sqrt n)$，空间 $\mathcal O(n)$。然而常数过大被带 log 的吊着踩。