CoinChange
题目
题目：CoinChange
有面额不等的coins，数量无限，要求以最少的\(coins\)凑齐所需要的\(amount\)。
若能，返回所需的最少coins的数量，若不能，返回-1。
- Example 1:
coins = [1, 2, 5], amount = 11
return 3 (11 = 5 + 5 + 1) - Example 2:
coins = [2], amount = 3
return -1.
无法用贪心做,例如：coins = [5,6,10], amount = 11 *。
动态规划解法：
1、
这里我用\(coins=[c_1,c_2,...,c_m]\)表示所有的\(coin\)面值的集合;
用集合\(S(amount)=(c_{i1},c_{i2}...c_{im})\)表示凑齐\(amount\)的一种凑法；
用函数\(f(amount)\)表示 凑齐\(amount\)的所有的凑法。
当\(amount=i\)的时候，有\(f(i)\)种凑法,
$ f(amount) = \{ (c_{i1},...),(c_{i2},...),...,(c_{ik},...) \} ,c_x\in coins$
例如：
\(coins = [1,5,6,9], amount = 11\);
.........\(f(11)=\{ (5,6),(1,1,9)\}\)凑齐11，有两种办法，一是5+6，另一种是1+1+9.
用\(dp[i]\)表示凑齐\(amount\)所需的最少\(coins\)数，\(dp[i]=-1\)表示无法凑齐。
\(dp[i] = min \{count( f(i) ) \}\)
例如：\(dp[11]=min\{count(f(11))\}=min\{count((5,6),(1,1,9))\}=min\{2,3\}=2\)
2、递推公式：
\(f()\)的递推公式为：
\(f(j)=\{f(i_1)+c_1,f(i_2)+c_2,...,f(i_k)+c_k \}\)，条件：\(j>i,f(j)>=0,c_x\in coins\)
\(dp[]\)的递推公式为：
\(dp[j]=min\{dp[i_1]+1,dp[i_2]+1,...,dp[i_k]+1 \}\)
3、边界条件：
\(f(0)=0\)
\(dp[0]=0\)
例子：
amount： 11
coins: 0 - - - - 5 6 - - - 10 -
amount: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
dp: 0 - - - - 1 1 - - - 1 2
代码：
int coinChange(const vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, -1);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount ; i++) {
for (int c: coins) {
if (i >= c && dp[i-c] >= 0) { // 若coin面值超过amount，无法凑出
if (dp[i] > 0) { // 若有别的凑法，比较那种凑法用的coins少
dp[i] = dp[i] < (dp[i - c] + 1) ? dp[i] : dp[i - c] + 1;
} else {
dp[i] = dp[i - c] + 1;
}
}
}
}
//display(dp);
return dp[amount];
}
