Distinct Subsequences

题目： 给定两个string \(S\)、\(T\)，计算序列为\(T\)的\(S\)的子序列的数量。

例如S = "rabbbit", T = "rabbit"，返回结果为3
子序列：例如，"ACE"是"ABCDE"的子序列。

这里我用动态规划的来求解

• 构建DP表，大小为 \(T.size + 1\)行，\(S.size + 1\)列
  +1是为了后面查表方便。
• 第一次，填表：判断T[j] 是否 等于 S[i] 。1代表相同，0代表不同
  
• 第二次，查表：从T[1]到T[end] 有几种走法
  走法：从1到1，走也是有条件的，只能走自己的斜下方的方向，不能垂直向下，向右走
  有几种走法即有几个子序列
  计算有几种走法可以用递归，但效率较低，可用循环。

![](//images0.cnblogs.com/blog/661985/201502/152113244487788.png)

代码中的查表为从后向前

下面为C++代码

int numDistinct(string S, string T) {
   int num_T = T.size(), num_S = S.size();
   if (num_S < num_T) return 0;

   vector<vector<int>>  DP(num_T + 1, vector<int>(num_S + 1, 0)); //初始化DP表，全为0
   for (int i = 0; i < num_S; ++i){   // DP表第一行为1，最后一个为0
      DP[0][i] = 1;
   }
   // DP 填表
   for (int j = 1; j < num_T + 1; ++j){
      for (int i = j; i < num_S + 1; ++i){
         if (T[j - 1] == S[i - 1]){
            DP[j][i] = 1; 
         }
      }
   }
   // 查表，计算得到结果
   for (int j = num_T; j > 0; --j){
      int nn = 0;
      for (int i = num_S - (num_T - j); i > 0; --i){ 
         nn += DP[j][i];
         if (DP[j - 1][i - 1] >= 1){
            DP[j - 1][i - 1] = nn;
         }
      }
   }
   return DP[0][0];
}

时间复杂度 \(O(n*m)\)

空间\(O(n*m)\)