数论四大定理

数论四大定理：包括威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理（中国剩余定理）、费马小定理

同余

同余：对于任意整数a，b，对指定的整数m(m>1)进行整除，若余数相同，则称a和b模m同余，记作 $a \equiv b (m o d m)$

费马小定理：任意整数a，质数p，若 $g c d (a, p) = 1$ （a和p的最大公因数为1，即a和p互质），则 $a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)$

欧拉给出的证明

先考虑两个集合，其元素个数为p-1， $A = {1, 2, 3, \dots, p - 1}$ ， $B = a A = {a, 2 a, 3 a, \dots, a (p - 1)}$

显然，集合A恰好遍历了p的所有非0余数，抽屉原理可知，B亦是如此

将集合A和B中的元素进行累乘，即

$(p - 1)! \equiv a^{p - 1} (p - 1)! (m o d p)$

插入介绍同余的除法

如果 $a = a_{1} d, b = b_{1} d, g c d (d, m) = 1$ ，且有 $a \equiv b (m o d m)$ ，那么 $a_{1} \equiv b_{1} (m o d m)$

回到证明上，显然有， $g c d ((p - 1)!, p) = 1$

$a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)$ ，证毕

对费马小定理进行扩展，将质数p替换成m，并引入欧拉函数 $φ (m)$ :1,2,……,m中与m互质的数的个数

$φ (m)$ 的数学表达：

先对m进行质因数分解， $m = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \dots p_{k}^{α_{k}}$ ，则

$φ (m) = m (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}})$

例如m=6，则 $φ (6) = 6 (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) = 2$ ，1-6中与6互质的数为和5，即成立

例如m为质数p，则p没有质因子，所以 $φ (p) = p (1 - \frac{1}{p}) = p - 1$ ，此时欧拉定理正好是费马小定理

欧拉定理：整数 $m > 1$ ， $g c d (a, m) = 1$ ，则 $a^{φ (m)} \equiv 1 (m o d m)$

欧拉定理证明

取集合过程与费马小定理证明中的相同

简化剩余系即是上述的集合，对于质数p就是剩余系

集合 $C = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{φ (m)}}$ ，模m的结果与m互质个数即 $φ (m)$ ，集合C中的元素个数为 $φ (m)$
集合 $D = a C = {a x_{1}, a x_{2}, \dots, a x_{φ (m)}}$

$a^{φ (m)} (x_{1} x_{2} \dots x_{φ (m)}) \equiv (x_{1} x_{2} \dots x_{φ (m)}) (m o d m)$

集合C和D中的元素互质，放心除， $a^{φ (m)} \equiv 1 (m o d m)$

证毕

RSA公开密钥，需要四个数字

流程

计算 $N = p q$ ，N的欧拉函数 $φ (N) = (p - 1) (q - 1)$
密钥和解钥 $e d \equiv 1 (m o d φ (N))$
公开数字N和e，d为解钥使用（d保密）
原文的数字代码为a，使用欧拉定理进行映射，a映射到b， $b \equiv a^{e} (m o d N)$ ，a就加密成b
将密文b发送出去，如果收到信息的人同时具有解钥d，那么 $b^{d} \equiv a^{e d} \equiv a^{1 + k φ (N)}) \equiv a \cdot (a^{φ (N)})^{k} \equiv a (m o d N))$ ，还原原文a
当前的RSA更加复杂