P-进数

简介

将上一行的匹配的数字进行平方，使得匹配的数字位数增加，最终会收敛（不是通常意义的收敛），该数字的平方等于自身，即 $n^{2} = n$

十进数

小数点左边无限位数的数字的含义，即讨论无限长位数整数的尾部数字

例如，十进制内十进数（N进制的数与N进数是两个概念，N进数是N进制下的一类数）
$\dots 285714 \dot{2} 8571 \dot{4} 3 \times 7 = \dots \dot{0} 1$ ，故 $\dots \dot{2} 8571 \dot{4} 3 = \frac{1}{7}$
$\dots \dot{6} 7 \times 3 = \dots \dot{0} 1$ ，故 $\dots \dot{6} 7 = \frac{1}{3}$

将无限长的循环整数映射到正分数，如何映射到负分数，每位取补数后+1即可
首先根据 $0. \dot{9} = 1$ 的还原原理， $\dots \dot{9} 9 \times 10 = \dots \dot{9} 0$ ，相减得到 $\dots \dot{9} 9 \times 9 = - 1$ ，所以 $\dots \dot{9} 9 = - 1$ ，满足 $\dots \dot{9} 9 + \dots \dot{0} 1 = 0$

取补数+1
$(\dots 714285 \dot{7} 1428 \dot{5} 6 + 1) \times 7 = \dots \dot{9} 9 = - 1$ ，故 $\dots \dot{7} 1428 \dot{5} 7 = - \frac{1}{7}$
$(\dots \dot{3} 2 + 1) \times 3 = \dots \dot{9} 9 = - 1$ ，故 $\dots \dot{3} 3 = - \frac{1}{3}$

将十进制的无限整数长度的数称为十进数，存在一个十进数 $n$ 使得 $n^{2}$ =n

使用因式分解求解 $n (n - 1) = 0$ 只能得到 $n = 0, n = 1$ ，显然解不是十进数

因式分解的方法不起作用，主要是十进数使用的基数为 $10$ ， $10 = 2 \times 5$ 是合数，两个整数相乘的尾数为0存在很多情况，只要是5与偶数相乘即可

为避免这种情况，使用素数为基数来替代

p进数（p-adics）

以p为基数，小数点左边无限位数的数为p进数，其中p为素数prime
没有小数部分的p进数为p进整数

这就保证了，因数分解时，尾数非0的两个数乘积结果的尾数必然不为0

对于无限长度整数位的p进整数
$\dots \dot{q} q = - 1$ ，其中 $q = p - 1$ ；因为 $\dots \dot{q} q + 1 = \dots \dot{0}$

三进数为例， $\dots \dot{2} 2 = - 1$
二进制中的补码，相似原理；二进制中，一个数的补码是通过将其所有位都取反+1而得到的
二进制数a的模2下的逆元为~a

p进数的应用1

对于毕达哥拉斯定理 $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ ，有整数解当且仅当 $n = 1 ， 2$ ，即费马大定理

怀尔斯证明费马大定理开始使用的3进数，后改成5进数，每个p进数系统具有完全不相关的数字系统

模运算
十进制下，36对10取模为6（6是36关于20的余数），6、16、26与36关于10同余

使用p进数解方程， $x^{2} + x^{4} + x^{8} = y^{2}$
使用3进制表达x，y，那么 $x = \sum_{i = 0}^{n} x_{i} \cdot 3^{i}$ ， $y = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \cdot 3^{i}, n \to \infty$
保证3进制下每位上的数字都相同

mod 3，3进制下尾数相同

$x_{0} = 0, 1, 2$ ，显然 $(x, y) = (0, 0)$ 是原方程的一组解，先排除
先取 $x_{0} = 1$

mod 9

$x_{1} = 1$

mod 27

$x_{2} = 1$

同理mod 81，mod 243……等，解得 $x_{i} = 1$

所以 $x = \dots \dot{1} 1 |_{p = 3}$

已知 $1 + \sum_{i = 1}^{n} λ^{i} = \frac{1}{1 - λ}$ ，等式成立前提是 $λ < 1$

如果令 $λ = 3$ ，则 $x = \dots \dot{1} 1 |_{p = 3} = - \frac{1}{2} |_{10}$

正好 $(x, y) = (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{9}{16})$

p进数的应用2

比较两个数的不同的距离大小

$S_{1} = \overset{―}{\dots \dots s_{3} s_{2} s_{1} s_{0}} |_{p}$
$T_{1} = \overset{―}{\dots \dots t_{3} t_{2} t_{1} t_{0}} |_{p}$

低位向高位数，
第1位不相同即 $s_{0} \neq t_{0}$ 则，距离为 $\frac{1}{p^{0}}$
第2位不相同即 $s_{1} \neq t_{1}$ 则，距离为 $\frac{1}{p^{1}}$
……
第n-1位不相同即 $s_{n} \neq t_{n}$ 则，距离为 $\frac{1}{p^{n}}$

那么这两个数字的距离为这些距离之和

范数Norm是一个具有“长度”概念的函数，满足恒正性，乘法性，三角不等式

绝对值
欧几里得距离——闵可夫斯基距离
复数的模长
p进绝对值

p进绝对值

N进数（包括p进数）的绝对值（赋值）和实数的绝对值完全不同

对于10进数

$x = \dots 98271000$
它的最低非0位是千位，也就是 $10^{3}$ ，我们称这个数的10进赋值为3，记作 $v_{10} (x) = 3$

对于小数（注意N进小数一定是有限小数）比如：
$y = \dots 12324.238$
它的最低非零是千分位，也就是 $10^{- 3}$ ，所以 $v_{10} (y) = - 3$ ，特别地最后一位不是0的N进整数，赋值为0

一般的，对于一个N进数， $x = N^{k} x_{0}$ ，其中 $k \in Z$ ， $x_{0} \in Z_{N}$ ，且 $x_{0}$ 的个位不为0，那么 $v_{N} (x) = k$

特别地，规定0的N进赋值为正无穷大 $+ \infty$ 。

$N$ 进绝对值对 $\forall x, y \in Q_{N}$ 满足:

1、正定性 $| x |_{N} \geq 0$ 且 | $x |_{N} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ;
2、次齐次性 $| x y |_{N} \leq | x |_{N} | y |_{N}$ ;
3、强三角不等式 $| x + y |_{N} \leq max (| x |_{N}, | y |_{N}) \leq | x |_{N} + | y |_{N}$

特别地当 $N$ 是素数时，性质2升格为齐次性 $| x y |_{p} = | x |_{p} | y |_{p}$

p进制整数<======> 多项式

p进制整数形式(有限多个正次幂)： $a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p^{1} + a_{0} p^{0}$

p进制实数<======> 无穷多项式

p进制实数形式(可以无限个负次幂，有限多个正次幂)： $a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p^{1} + a_{0} p^{0} + a_{- 1} p^{- 1} + \dots + a_{m} p^{- m} + \dots, m \to \infty$

p-adic 整数（p进整数）<=========>形式幂级数

p-adic 整数(没有负次幂，有无穷多个正次幂)： $\dots + a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p^{1} + a_{0} p^{0}, n \to \infty$

p-adic 数（p进数）<=========>形式洛朗幂级数

p-adic 数(只有有限个负次幂，有无穷多个正次幂)： $\dots + a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p^{1} + a_{0} p^{0} + a_{- 1} p^{- 1} + \dots + a_{m} p^{- m}, n \to \infty$
p进数具有无穷多个整数位，有限多个小数位
实数具有有限多个整数位，无穷多个小数位
二者计算直和无区别
涉及极限时，二者拓扑不一样导致收敛性不一样

p-adic 分析和复分析是平行的

任意有理数的p进数
对于 $\forall x \in Q$ ，它都可以写成形式 $x = N^{k} \frac{A}{B}$ ,其中 $N ∤ A$ 且 $(N, B) = 1$ ，记 $v_{N} (x) = k$ ，同样定义 $x$ 的 $N$ 进绝对值为 $| x |_{N} = γ^{v_{N} (x)}$ ，其中 $γ$ 是满足 $0 < γ < 1$ 的任意实数