微分方程数值解法1-Euler法和Runge-Kutta法

Euler法

欧拉法为一阶泰勒展开逼近局部函数（隐式方程），通过调整步长不断靠近零点

使用$f(x_i,y_i)$线性组合得到$y(x_{i+1})$的近似值$y_{i+1}$

• 欧拉法：每步计算1次$f(x_i,y_i)$，为一阶方法，误差为$O(h^2)$
• 改进欧拉法：每步计算2次$f(x_i,y_i)$，为二阶方法，误差为$O(h^3)$

Runge-Kutta法

Runge-Kutta法要求解析解具有较好的光滑性

一阶Runge-Kutta法:

• 利用一阶欧拉法思想，每步计算区间$【x_i,x_{i+1}】$内多个点的斜率值，然后将其加权平均作为平均斜率，也不必计算更高阶的泰勒项

二阶Runge-Kutta法:

• 对改进欧拉法的进一步改进，满足一定条件的计算格式簇统称为二阶龙格-库塔格式，其包含改进欧拉法

四阶经典龙格-库塔格式

应用实例，定步长

$\{\begin{array}{cc}\frac{d^y}{dx}=2xy,& 0<x<1\\ y(0)=1& \end{array}$

显然解析解：$y=e^{x^2}$

令斜率$y^{\prime }=f(x,y)=2xy$，$x_0=0,y_0=1,h=0.2$

$k_1=f(x_0,y_0)=0$
$k_2=f((x_0+h)/2,y_0+h{k}_1/2)=f(0.1,1)=0.2$
$k_3=f((x_0+h)/2,y_0+h{k}_2/2)=f(0.1,1.02)=0.204$
$k_4=f(x_0+h,y_0+h{k}_3)=f(0.2,1.0408)=0.41632$

$x_1=x_0+h=0+0.2=0.2$
$y_1=y_0+(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\ast 0.2/6=1.040811$
$e^{{0.2}^2}=1.04081077419$

Adams 亚当姆斯法

将已知节点值加权平均