集合论set theory

数学危机

三次数学危机：

• $\sqrt{2}$为无理数
• 微积分的无穷小定义
• 集合论中的罗素悖论

集合论创始人Cantor对集合的描述：“一个集合是我们真觉中或理智中的，确定的，互不相同的事物的一个汇集，被设想为一个整体(单体)”

这很哲学，但是不可数学表达，不能作为集合概念的定义

集合：由一个或多个确定的元素所构成的整体;

• 对于元素$a$，要么属于集合$A$，要么不属于集合$A$
• 对于集合$A$，要么包含元素$a$，要么不包含元素$a$

那么元素又该怎么定义呢？元素可以是集合，所以元素或者集合是不被定义的，某种程度上讲集合是自我定义的。

在集合论中，元素就是指集合，即构成集合的元素仍是集合，集合论描述的是集合之间抽象的关系，也不考虑集合之外的事物，所以还是没有数学上定义集合，上述概念如属于或者包含也是没数学定义，这些都是自然抽象出的秉性

• 集合的枚举表示法： $\{x:x\in A\}$ ，其中不同的元素用逗号隔开。
• 集合的性质表示法： $\{x|f(x)\}$ ，其中 $f(x)$ 表示元素 $x$ 具有性质 $f$。

有些集合可以用一些特殊符号表示：

$N$：非负整数集合或自然数集合$\{0,1,2,3,\dots \}$

$N^{\ast }$或$N^{+}$：正整数集合$\{1,2,3,\dots \}$

$Z$：整数集合$\{\dots ,-1,0,1,\dots \}$

$Q$：有理数集合；$Q^{+}$：正有理数集合；$Q^{-}$：负有理数集合

$R$：实数集合(包括有理数和无理数）；$R^{+}$：正实数集合；$R^{-}$：负实数集合

$C$：复数集合

$\varnothing$：空集（不含有任何元素的集合）

空集：$\{x|x\ne x\}$，不含任何元素，从而是任何集合的子集

幂集： $X$是一个集合，则 $P(X)=\{A|A\subseteq X\}$ 也是集合，称之为$X$的幂集。集合$X$的所有子集构成的集合称之为$X$的幂集，$|X|=n$，则$X$的幂集 $|P(X)|=2^n$

测度

几何角度：实数集的两个子集的测度为长度

概率角度：区间$[0，1]$某个子集的测度，就是在$[0，1]$中随机取一点，该点落在该子集的概率。

集合的运算：交、并、差、对称差（差-并）

交：$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$；当$A\cap B=\varnothing$，则称$A$和$B$两个集合是不相交的

并：$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$；当$A\cap B=B$，则称$A$是$B$的子集

差：$A-B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$；称为$B$对$A$的相对补集；当$B$为全集时，则称$A$对$B$的相对补集为$A$的绝对补集

对称差：$A\oplus B=（A-B）\cup （B-A）=\{x\mid (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in B)\}$

子集：对于集合$A$中任意元素$x$，都有$x\in B$，则称$A$为$B$的子集；含有$n$个元素的集合有$2^n$个子集，其中包含两个平凡子集，空集和其本身（空集的两个平凡子集相等），其余不是平凡子集的子集称之为真子集（空集和单元素集合没有真子集）

补集：$A\subseteq B$，则$B-A$称为$A$的补集，记作$\bar{A}$或者$A^{\prime }$；$B$为指定集合时为$B-A=\{x|x\in B，\mathrm{且}x\notin A\}$，$\bar{A}$为相对补集；$B$为全集合$U$时，$\bar{A}$为绝对补集

反演律（德·摩根律）：$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$；$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

文字表述：

• 集合$A$与集合$B$的并集的补集=集合$A$的补集与集合$B$的补集的交集;
• 集合$A$与集合$B$的交集的补集=集合$A$的补集与集合$B$的补集的并集。

单集：集合中有且仅有$1$个元素，例如$\{\varnothing \}，\{\{\varnothing \}\}，\{\{\{\varnothing \}\}\}$

映射

无序对（无序偶，偶集）：集合中有且仅有两个元素且无顺序区别，即$\{a，b\}=\{b，a\}=\{x|x=a\vee x=b\}$；这里的偶集有别于偶数集$\{2，4，6，8\dots \}$，常以无序对（偶）加以区分

有序对（序偶）：偶集中两个元素会互相独立时，集合是无序的；元素存在依赖时，集合可构成有序的，将集合$\{\{a\}，\{a，b\}\}$定义为有序对，元素为单集$\{a\}$和偶集$\{a，b\}$；序偶记作$（a，b）=\{\{a\}，\{a，b\}\}$

• $a$为序偶（a，b）的第一坐标
• $b$为序偶（a，b）的第二坐标

集合的乘法：设$A,B$ 是两个集合，令 $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$ 是A 与B 的乘积，记为 $A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$。笛卡尔积，集合的乘法不满足结合律和交换律

对于关系（映射）$R$，记$dom(R)=\{x|\exists y((x，y)\in R)\}$，$dom(x)$称为$R$的定义域；记$ran(R)=\{y|\exists x(x，y)\in R)\}$，$ran(y)$称为$R$的值域；

$R$为（映射）关系，指代函数，满足$R$的所有序对构成一个区域$（x，y）$，该区域在第一坐标的投影为定义域，在第二坐标的投影为值域，记作$R：x\to y$，其中$X=dom(R)，Y=ran(R)$，$R$为定义在$X$上的函数，$R$是$X$到$Y$的一个映射；

有时也将$R：x\to y$叫做变换，算子，泛函

对于有限集，集合乘积的势=集合势的乘积，$|A\times B|=|A|\times |B|$

单叶函数是复变函数中一类重要的解析函数。对复平面区域$D$上单值的解析函数$ƒ(z)$，若对$D$中任意的不同的两点$z_1、z_2$有$ƒ(z_1)\ne ƒ(z_2)$，则说$f(z)$为$D$上的单叶函数。

单叶函数最基本的性质为其导数无零点。即：$f(z)\in \phi ,z\in R,f^{\prime }(z)\ne 0,z\in R$

• 单射(单叶映射，|值域|≥|定义域|)
• 满射（满占映射，|定义域|≥|值域|）,可能有多对一
• 既是单射又是满射，则是双射（一一对应）,|定义域|=|值域|

原象A：定义域，是一个集合
象B：原像在映射关系F下构成的集合，值域，一个集合

$F(a)$为单个函数值，象中的一个元素，而非象，其中$a\in A；F(A)$为象，$F^{-1}(B)$为原象

反函数也称为逆映射：二者函数图像关于$y=x$轴对称，原函数和反函数都是单射

复合函数：存在两个函数$F$和$G$，$F\circ G$称为函数的复合，也叫射的复合（范畴论）

• $(F\circ G)\circ H=F\circ (G\circ H)$
• $(F\circ G)(x):=F(G(x))$

族

数列$\{S_n\}$本质是自然数集$N$到实数集$S$的映射$S$，通项$S_n$

集合族：如果集合$C$中的每个元素都是集合，称$C$为集合族。

标志集：如果集合族$C$可以表示为某种下标的形式：$C=\{S_d|d\in D\}$

那么这些下标组成的集合称作集合族$C$的标志集。

标志集可以是自然数、某些连续符号(用来索引的角标)。

例如：

$C=\{\{0\},\{0,1\},\{0,1,2\},\dots \}$是集合族，但是没有标志集；

如果定义 $S_n=\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ ，那么$C$就可以表示为 $\{S_n|n\in I+\}$，这样$C$的标志集就是 $I^{+}$ ；

集合族 $C=\{S_a,S_b,S_c\}=\{S_d|d\in \{a,b,c\}\}$ ，标志集就是 $\{a,b,c\}$ ；

$A$的幂集 $\rho (A)$ 是一个集合族。

自然数集$N$和自然数$0$作为不定义的原始概念

Peano axioms

皮亚诺公理（Peano axioms）

• Ⅰ、$0$是自然数，即$0\in N$；
• Ⅱ、每一个确定的自然数$a$，都具有确定的后继数$a^{\prime }$ ，$a^{\prime }$也是自然数（数$a$的后继数$a^{\prime }$就是紧接在这个数后面的整数$(a+1)$。例如：$1^{\prime }=2，2^{\prime }=3$等等。）；
• Ⅲ、$0$不是任何自然数的后继数，即$\forall n\in N(n^{\prime }\ne 0)$；
• Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数$b、c$的后继数都是自然数$a$，那么$b=c$；
• Ⅴ、$N$满足归纳原理。

设$S\subseteq N$（自然数），且满足$2$个条件:

• $0\in S$；
• 如果$\forall n\in S$，那么$n^{\prime }\in S$。则S是包含全体自然数的集合，即$S=N$。

简易表述：若集合$S$中全是自然数，且满足两个条件：

• $0$在集合$S$中
• 若任给实数$n$在集合$S$中，那么n的后继数$n^{\prime }$也在$S$中，那么$S$是包含全体自然数的集合

若将只考虑正整数，则公理中的$0$要换成$1$，自然数要换成正整数。

加法是满足以下两种规则的运算：

• $\forall m\in N，0+m=m$
• $\forall m，n\in N，n^{\prime }+m=(n+m{)}^{\prime }$

这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定

乘法是满足以下两种规则的运算：

• ∀自然数$m，m·0=0$
• ∀自然数$m，n，m·n^{\prime }=m·n+m$

这两条仅依赖于“后继”关系的乘法定义，任意两个自然数相乘的结果都能确定

集合的势

等势：对于集合$A，B$，当且仅当存在从A到B的一个双射时，$A$与$B$等势，记$A\approx B$

开区间$（0，1）$等势于实数集$R$

集合的受制

对于集合$A，B$，当且仅当存在$A$到$B$内的一个单射，则$A$受制于$B$，记$A\le B$；

• 即A与B的某个子集等势，则A受制于B；
• 即A与B的某个真子集等势，则A严格受制于B

三种集合

• 有限集（集合$A$的元素个数等于一个自然数）：$A$有限；
• 无穷可数集合（自然数集，整数集，有理数集）：当且仅当集合$A$与自然数集$N$等势；
• 无穷不可数离散集合（可以构造出来），（无穷）不可数连续集合（实数）。


“良序集（well ordered set）”这一概念：如果一个全序集的任意非空子集在其全序关系下都有极小元，则称其为良序集，称其全序关系为良序关系。——在集合中定义了序

Zermelo 良序定理：任何集合$S$都能被赋予良序

显然，$N$是一个良序集，且存在其他良序集

任何离散良序集都可以与$N$建立一对一映射，也就是用自然数对其内的元素进行编号

基数

基数：若对任意序数$\lambda <k$ 都有 $|\lambda |<|k|$，序数$k$称为基数

ZF公理

$ZF$（Zermelo- Fraenkel Axiom）公理系统：

外延公理、偶集公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、无穷性公理、选择公理、替换公理和正则公理

空集公理：存在一个不包含任何元素的集合，即存在一个集合$A$，使得对于任何的$x，x\notin A$

ZF由下面8个公理组成：

• 外延公理。若集合$X$与$Y$有相同的元素，则$X=Y$。

• 无穷公理。存在无限集。

  下面5个公理是合法的基本造集规则

• 配对公理（偶集公理，无序对公理）：对集$a$与$b$，有一个集合恰好只含有$a、b$二个元素，记为$\{a，b\}$。

• 并集公理。对任集$X$，其并$\cup X$也是集合。对于任何集合$X$有一个集合$Y$，$Y$的元素完全是$X$的元素的元素

  对于$X=\{\{1，2\}，\{2，3\}，\{1，3\}\}，\cup X=\{1，2，3\}$，类似合并同类项

• 幂集公理。对任集$X$，其所有子集全体$P(X)$仍是集合。

• 空集公理。存在一个集合$x$，它没有任何元素

• 子集公理。若$x$为集合，则存在集合$y$，使得对任意$x$的子集$z$，有$z\in y$。

• 替换公理。$F$是一函数(在$ZF$系中是一导出概念)，对任集$X，F[X]=\{F(x)：x\in X\}$是集合。

• 分离公理（内涵公理）。对任集$X$及性质$P，Y=\{x\in X：x\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{性}\mathrm{质}P\}$是集合。给定集$X$和映射$P(x)$，集$Y$唯一存在

由空集公理+替换公理推导出分离公理

• 正规公理（正则公理）。对任意非空集合$X$，其中$X$至少有一元素$x$使得$x\cap X$为空集。

• 选择公理$AC$。设$C$为一个由非空集合所组成的集合。那么，从每一个在$C$中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

$ZF+AC$简记为$ZFC$。

集合的基数

对于任意集合$A$，存在唯一基数$a$，使得$a\approx A$

无穷可数集都具有基数${\mathrm{\aleph }}_0$

无穷不可数集都具有基数${\mathrm{\aleph }}_1$

基于${\mathrm{\aleph }}_0$与$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$之间是否存在另外的基数，还未可知；这与欧几里得的第五公设一样，假设成立与否都会推导出逻辑自洽的不同数学系统

连续统假设：可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势，${\mathrm{\aleph }}_1$（或者$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$）与${\mathrm{\aleph }}_0$之间不存在其他基数

$ZF$公理系统与连续统假设是互相独立的，不能相互证明或者证伪

悖论

罗素悖论

培里悖论(Berry Paradox)

he least integer not nameable in fewer than nineteen syllables”is itself a name consisting of eighteen syllables; hence the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables can be named in eighteen syllables, which is a contradiction.

翻译：不能用少于19个字命名的最小整数

看似符合直观，但蕴含着一些奇奇怪怪和直观抵触的东西，比如豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论、冯·诺伊曼悖论

自我指涉

希尔伯特计划

希尔伯特畅想了一个美好的未来，所有的数学理论全都用一种形式语言来描述，并且这套系统满足如下四个性质：

• 完备性：任意一个符合这个形式系统语法的句子，也就是一个命题，都能证明或证伪。
• 一致性：这个系统不会同时推出一个命题和它的否定。
• 可判定性：如果给定任意定理，可以用算法在有限步内判定真伪。
• 保守性：证明可以不依赖『理想对象』（比如不可数集合）。
• 而且更重要的是，这四个性质还要在这个系统内被证明。

1931年，哥德尔的两条不完备定理直接宣判了希尔伯特计划的死刑。

后来图灵的停机问题又摧毁了希尔伯特对可判定性的期待。

哥德尔不完备理论定理，塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果

第一不完备定理

一个包含皮亚诺算术的形式系统如果是一致的那么是不完备的。

任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论（皮亚诺算术）的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否

哥德尔提出第一不完备定理后不久，Rosser就给出了一个更强的（意味着条件限制更少）不完备定理：一个系统只要包含罗宾逊算术就足以产生不完备性了（罗宾逊算术只有加法和乘法）。

第二不完备定理

对于一个包含皮亚诺算术的形式系统，该系统的一致性不能在系统内部证明

如果系统$S$含有初等数论，当$S$无矛盾时，它的无矛盾性不可能在$S$内证明

哥德尔数

哥德尔的主要策略是把关于某个公理系统的语句映射到一个特定的系统内的语句，即映射到一个关于数字的语句。

第一步，将任何可能的数学语句或一系列语句映射到一个被称为哥德尔数的唯一数字。用12个基本符号作为词汇来表达一系列基本公理。

符号	哥德尔数	含义	符号	哥德尔数	含义
~	1	非	s	7	后继
∨	2	或	（	8	断句标点
→	3	如果…则…	）	9	断句标点
∃	4	存在	，	10	断句标点
=	5	等于	+	11	加
0	6	零	×	12	乘

第二步，用字母表示变量，$（x，y，z，\dots ）$映射到大于12的素数$（13，17，19，\dots ）$

数字变量	哥德尔数	可能值
x	13	0
y	17	s00
z	19	x

接下来，这些基本符号和变量的任意组合，即任何可以被构造的算术公式或公式序列，都将有对应的哥德尔数。

比如，考虑 $0\ne 1$。这个公式的三个符号对应语句就是：$0\sim =s0$（准确来说应该是$\sim (0=s0)$），与之对应的哥德尔数依次是 6、1、5、7、6——即将5个哥德尔数表达公式$0\ne 1$。

哥德尔需要将这5个哥德尔数的序列改为一个唯一的数字，也就是其他符号序列不会生成的数字。为此，他采用前5个质数（$2，3，5，7，11$），将每个符号的哥德尔数作为这个序列相同位置的指数，并将它们相乘。因此$0\ne 1$ 变为 $2^6\times 3^1\times 5^5\times 7^7\times {11}^6$，这也是哥德尔数。这种映射是双射$\Theta$，公式与哥德尔数一一对应，$\Theta$：公式$\iff$ 哥德尔数

更进一步，数学证明是由一系列的公式组成的。因此，哥德尔也为每个公式序列赋予了唯一的哥德尔编号。在这种情况下，正如前面一样，从质数列表开始，即依此类推。然后，他将公式的哥德尔数作为对应位置素数序列的指数，然后将所有数相乘。

关于哥德尔数是否能涵盖正整数集，答案是肯定的。由于哥德尔编号是一种映射，它可以涵盖所有的正整数集。当把一个正整数说成是哥德尔数时，往往强调这个正整数存在对某个公式的映射，实际二者在数字上并无区别。

故可以根据哥德尔数逆推公式


函数 sub(a,b,c)

考虑公式 $(\exists x)(x=sy)$（读作“存在一个变量$x$使得它是$y$的后继”，或者简言之，“$y$有一个后继”）。像所有公式一样，它有哥德尔数，即某个大整数，记作$m$。

在公式中用$m$代替符号 $y$。 这形成一个新公式 $(\exists x)(x=sm)$ ，表示“ $m$有一个后继”。新公式的哥德尔数记作为$sub(m,m,17)$。

函数 $sub(a,b,c)$定义：

• 第一个参数$a$ 是一个公式的哥德尔数，我们接收到$a$之后要把它解码成此哥德尔数所对应的公式。
• 最后一个参数$c$指的是一个符号的哥德尔数，我们要找到$a$对应公式的所有哥德尔数为$c$的符号所对应的位置。
• 最后，我们把刚才找到的位置全部替换成数字$b$。现在，我们计算这个修改后的公式的哥德尔数，这个数字就是 $sub(a,b,c)$。

$sub(a,b,c)$的输入为三个哥德尔数，输出也是哥德尔数。

比如公式$sub(x,17,x)$关于哥德尔数$x$的函数，其数学含义是：取一个哥德尔数是$x$的公式，其中凡是有变量$y$ (哥德尔数$17$对应的变量是$y$)出现的地方均用哥德尔数$x$的数字替换，得到的新公式就是$sub(x,17,x)$

他考虑下面一个元数学语句“无法证明哥德尔数为$sub(y,y,17)$的公式”。哥德尔数为$sub(y,y,17)$的公式是通过取哥德尔数为$y$（某个未知量）的公式并将该变量$y$替换掉哥德尔数为$17$的符号（也是任何一个y的位置）。

G自身

元数学语句“无法证明哥德尔数为$sub(y,y,17)$的公式”肯定能转化为某个特定哥德尔数所对应的公式。 我们把这个数称为$n$。

最后一轮替换：哥德尔通过将数字$n$替换先前公式中$y$的位置来创建一个新公式。他的新公式声称：“无法证明哥德尔数为 $sub(n,n,17)$的公式”。将此新公式称为$G$。

自然，$G$也有一个哥德尔数。那么它的值是什么呢？它肯定是 $sub(n,n,17)$

根据定义， $sub(n,n,17)$是下面这个公式的哥德尔数，它是通过将哥德尔数为$n$的公式中对应哥德尔数为$17$的符号用$n$替代所得到的。而$G$正是这个公式。由于素数分解的唯一性，我们现在看到$G$所讨论的公式就是$G$本身。

$G$断言自己无法被证明

但是$G$能被证明吗？如果是的话，则意味着存在某个公式序列，可以证明哥德尔数为$sub(n,n,17)$的公式。但这恰好与$G$相反，即$G$断言不存在这样的证明。相反的语句$G$和$\sim G$在一致的公理体系中不可能同时为真。因此，$G$的正确与否必然无法被判定。

然而，尽管$G$是无法被判定，它显然是对的。$G$意思是“无法证明哥德尔数为 $sub(n,n,17)$的公式”，而这正是我们所发现的事实。既然$G$是正确的，还是在此公理体系内构造的一个无法被判定的语句，说明了这个系统是不完备的。

我们学到了如果公理集是一致的，则它是不完备的。这是哥德尔第一不完备定理。

第二不完备定理，即没有一套公理可以证明其自身的一致性，由此易得。

如果公理集可以证明它永远不会产生矛盾，那意味着什么？这意味着存在根据这些公理构建的一系列公式，证明了这个含义为“这组公理是一致的”的元数学公式。由第一定理可知，这个公理集必然是不完备的。

哥德尔不完备定理其实还有个隐藏限制，那就是形式语言的公式集必须是递归集合（哥德尔数1-12中包含0、后继、加法和乘法，由皮亚诺公式推导出自然数集，却无法推导实数集合），换言之，你的公式必须可以从有限个符号经过有限步构造出来。

如果你用像实数那么多的符号来表示，哥德尔不完备定理就失效了，但这毫无意义，因为人类没办法写出这种语言。同样的，如果你能造出『实数计算机』，那停机问题也可以解决了。

离散数学

集合论，图论，离散，群，拓扑，线性空间，张量空间，组合数徐，密码学

广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。

1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数。

2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用。

3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数。

4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理。

5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理。

离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。

集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑

勒贝格积分——测度