环，析，射，度，态

相关性，逻辑环

逻辑拓扑图，系统，输入输出，控制，运算

1. 相关性：

• 相关性 指两个变量之间存在某种联系或关联，但不一定意味着因果关系——即这两个变量之间可能是输入输出关系，二者更多是统计学上的关联
• 比如气温与冰淇淋销量相关，气温越高，冰淇淋销量可能越高。但并不代表气温直接导致冰淇淋销量增加。

2. 开环：

• 开环系统 指系统输出不影响系统输入，也就是说，系统没有反馈机制。
• 例如，简单的电风扇，你按下开关，风扇就开始转动，风扇转动的快慢与风速无关，这就是开环系统。
• 开环系统简单易控，但精确度较低，易受外部环境影响。

3. 闭环：

• 闭环系统 指系统输出会影响系统输入，也就是说，系统有反馈机制。
• 例如，恒温器控制的空调系统，空调根据房间温度的改变来调节制冷或制热，这是一个闭环系统。
• 闭环系统更稳定，精确度更高，可以克服外部环境的干扰。

4. 反馈：

• 反馈 是指将系统输出的一部分信息返回到系统输入，以调节系统行为。——反馈是闭环系统的一个环节
• 反馈可以是正反馈，即放大系统输出的变化，例如麦克风与音箱之间的正反馈会导致啸叫；也可以是负反馈，即减小系统输出的变化，例如恒温器中的负反馈可以稳定房间温度。

总结：

• 相关性描述的是变量之间的联系，而开环、闭环和反馈则描述的是系统本身的结构和控制方式。
• 开环系统没有反馈，闭环系统有反馈，反馈是闭环系统中的核心机制。
• 反馈可以是正反馈或负反馈，分别起到放大和减小系统输出变化的作用。

• 反馈 是指将系统输出的一部分信息返回到系统输入，以影响系统未来的行为。
• 闭环 是指包含反馈机制的系统。

也就是说，反馈是闭环系统中的一个关键组成部分，是闭环系统能够实现自我调节的关键。

1. 控制理论：

• 系统: 指任何具有输入和输出的实体，可以是物理系统、数学模型或软件程序。
• 传递函数: 描述系统输入和输出之间关系的数学表达式。
• 响应: 系统对特定输入的输出结果。
• 稳态: 系统输出在长时间内保持稳定时的状态。
• 动态特性: 描述系统在时间上的变化趋势，例如系统响应速度、稳定性等。

2. 信号处理：

• 滤波: 指根据特定频率选择性地处理信号，例如低通滤波、高通滤波等。
• 增益: 指信号在通过系统时被放大的倍数。
• 相位: 指信号的波形相对于输入信号的偏移量。
• 卷积: 指将信号与一个称为卷积核的函数进行运算，可以实现滤波、边缘检测等操作。

3. 机器学习：

• 模型: 指通过训练数据学习到的输入输出关系。
• 预测: 指根据模型对新的输入进行输出结果的推断。
• 特征: 指输入数据中用来描述样本特征的变量。
• 目标: 指输出数据中要预测的目标变量。
• 损失函数: 用于衡量模型预测结果与真实值之间的偏差。

4. 其他领域：

• 函数: 指将输入映射到输出的数学表达式，这是描述输入输出关系最基本的工具。
• 映射: 指将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立对应关系。
• 关系: 指两个或多个变量之间的联系，例如函数关系、因果关系等。

总的来说，描述输入输出关系的术语非常多，具体使用哪种术语取决于您要描述的具体内容和所处的领域。

解析，分析

解析强调数学工具的使用和逻辑推导，而分析则强调对对象性质的理解和解释。在不同的数学领域

解析 (Analytic)

• 解析几何：用代数方法来描述和研究几何问题
• 解析函数：在定义域内可微且其泰勒级数在该点收敛的函数
• 解析解：通过代数运算和数学公式直接求得的解，与数值解（使用数值方法求解）相对
• 解析拓扑：用解析函数和微分方程来研究拓扑空间
• 解析数论：解析方法来研究数论问题，例如黎曼ζ函数、狄利克雷级数等

分析 (Analysis)

• 数学分析（实分析，复分析）
• 函数分析：研究函数空间的理论，包含对函数的解析和分析，例如算子理论、谱理论等
• 泛函分析：函数分析的一种特殊形式，主要研究函数空间上的泛函
• 傅里叶分析：用傅里叶级数和傅里叶变换将周期函数分解为简单函数的叠加，是一种强大的分析工具
• 谐波分析：研究傅里叶分析和泛函分析的交叉，涉及谐波函数、微分方程、群表示等
• 数值分析：用数值方法来近似求解数学问题，例如数值积分、数值微分、解线性方程组等
• 统计分析：对数据进行收集、整理、分析，以发现数据背后的规律和趋势，例如假设检验、回归分析、聚类分析等
• 非线性分析 (Nonlinear Analysis)：研究非线性方程和函数，包括非线性微分方程、非线性积分方程等，它也包含解析和分析方法。
• 随机分析 (Stochastic Analysis)：研究随机过程，例如布朗运动、伊藤积分等，它包含了概率论、分析和微积分等多方面的知识。

映射 mapping

映射：两个非空集合中的元素具有一定的关系法则对应
原象：自变量，集合为域时叫定义域
象：因变量，值域，函数值，当自变量和映射确定时，因变量唯一确定时为单值函数，复数存在多值函数（准确来讲多值函数不应叫函数）

映射：原象均有对应的象，原象元用完
单射：排除多对一
满射：象均能找到原象，象元用完
双射：既单又满，又叫一一对应

函数 function：数集向数集的映射；（函数就是数的集合）
泛函 functional：函数集合向数集的映射；函数到数集的映射；
算子 operator：函数集合向函数集合之间的映射；函数到函数的映射；
变换：集合本身向集合本身的映射；集合到集合的映射，显然是个双射，自同构

映射：集合→集合（任一自变量，都有唯一的因变量与之对应，就是排除集值映射）
集合 + 一定结构 ＝ 空间

比如$（X,+,\blacksquare ）$是线性空间，$（X,\Sigma ,\mu ）$测度空间等。

算子：空间→空间的映射
泛函：空间→数域的映射
函数：数域→数域的映射

连续，收敛，可积，可微，连通，紧集，完备，封闭

极限与连续

$\epsilon -\delta$语言描述的不等式满足，则极限存在

左极限=该点值=右极限，那么就是连续

收敛→有界

可微、可导、可积

对于一元函数，可微和可导等价

对于多元函数来讲，可微指的是全微分，可导指的是偏导数

全微分要求过这一点的所有的截面切线（360°无死角），共同所在的平面。

所以偏导数存在不一定存在全微分，但是反过来，如果多元函数可微，就一定可导。

设$f(x)$在区间$[a，b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在$[a，b]$上可积

可微→可导→连续→极限→可积

开集、开区间、紧集、连通

开集

• 定义: 在一个拓扑空间中，如果集合中的每个点都存在一个以该点为中心的开球，且这个开球完全包含在这个集合内，那么这个集合就是一个开集。
• 通俗理解: 开集就是指没有边界点的集合。
• 例子: 在实数轴上，开区间 (a, b) 就是一个开集，因为它不包含 a 和 b 这两个端点。

开区间

• 定义: 开区间是指不包含端点的区间。
• 形式: 用圆括号表示，例如 (a, b) 表示大于 a 小于 b 的所有实数。
• 例子: (2, 5) 代表所有大于 2 小于 5 的实数，不包括 2 和 5。

紧集

• 定义: 在一个拓扑空间中，如果集合的每个开覆盖都存在一个有限子覆盖，那么这个集合就是一个紧集。
• 通俗理解: 紧集就是指可以被有限个开集覆盖的集合。
• 例子: 在实数轴上，闭区间 $[a,b]$ 就是一个紧集，因为它可以被有限个开区间覆盖。

连通

• 定义: 在一个拓扑空间中，如果一个集合不能被分成两个不相交的非空开集，那么这个集合就是连通的。
• 通俗理解: 连通的集合就是指没有“洞”的集合，它可以是单连通的（没有洞）或者多连通的（有多个洞）。
• 例子: 在实数轴上，开区间 (a, b) 是连通的，因为它无法被分成两个不相交的非空开集。圆盘也是一个连通的集合，因为它没有洞。

完备性与封闭性

完备

• 定义: 在一个度量空间中，如果空间中的所有柯西序列都收敛于空间中的一个点，那么这个空间就是完备的。
• 通俗理解: 完备的空间就是指空间中没有“漏洞”，所有趋于某个值的序列都能在这个空间中找到一个极限值。
• 本质： 完备性描述的是集合的“完整性”，即集合是否包含所有应该包含的元素。
• 举例：
  • 实数集是完备的，因为它包含了所有有理数和无理数，没有“缺失”的元素。所有在实数轴上的柯西序列都能收敛于实数轴上的一个点。
  • 有理数集是不完备的，因为它缺少无理数，例如平方根 2。

封闭

在数学中，"封闭性" 是一个重要的概念，它指的是一个集合在某个运算下是否保持自身的性质。具体来说，它通常指的是以下两种情况：

1. 运算封闭性：

一个集合在某个运算下是封闭的，指的是集合中的任意两个元素进行该运算后，所得结果仍然是该集合中的元素。

例如：

• 实数集在加法运算下是封闭的: 因为任意两个实数相加的结果仍然是实数。
• 自然数集在乘法运算下是封闭的: 因为任意两个自然数相乘的结果仍然是自然数。
• 奇数集在加法运算下不是封闭的: 因为两个奇数相加的结果是偶数，不在奇数集中。

2. 拓扑封闭性：

在拓扑学中，一个集合是封闭的，指的是它包含其所有极限点。

例如：

• 闭区间 $[0,1]$是实数集中的一个封闭集合: 因为区间内的所有点以及区间边界上的点 0 和 1 都在集合中。
• 开区间 (0, 1) 是实数集中的一个开放集合: 因为区间内的点 0 和 1 不在集合中，所以它不是封闭集合。

封闭性的重要性：

封闭性是许多数学分支的基础概念，它在以下方面扮演着重要的角色：

• 代数结构: 例如，群、环、域等代数结构都要求其运算封闭性。
• 拓扑空间: 拓扑空间中的封闭集合是研究连续性、极限等重要概念的基础。
• 函数分析: 在函数分析中，封闭性是研究函数空间性质的关键。

需要注意的是，"封闭性" 的概念并非一个绝对的概念，它依赖于具体的集合和运算。不同的集合和运算可能具有不同的封闭性。

二者区别与联系

• 区别： 封闭性侧重于集合对特定运算的封闭性，而完备性侧重于集合本身的完整性。
• 联系：
  • 完备性可以看作是一种更强的封闭性。如果一个集合是完备的，那么它一定对某些运算来说是封闭的。
  • 完备性通常与某种特殊的“极限”或“收敛”概念相关联，而封闭性则不一定。

总结：

• 封闭性： 描述的是集合对特定运算的“自包含性”。
• 完备性： 描述的是集合本身的“完整性”，它可能与某种极限或收敛概念相关联。

全纯、解析、亚纯

1. 全纯函数

• 定义: 一个复变函数在一个区域内是全纯的，如果它在该区域内的每一点都可微。
• 通俗理解: 全纯函数在复平面上“平滑”地变化，没有突变或尖角。
• 例子: $f(z)=z^2$，$e^z$，$\sin (z)$ 都是全纯函数。

2. 解析函数

• 定义: 一个复变函数在一个区域内是解析的，如果它可以被写成一个收敛的幂级数。
• 通俗理解: 解析函数可以用泰勒级数来表示，这意味着它可以通过无穷项的加和来精确地近似。
• 例子: 全纯函数都是解析函数，因为它们可以被写成泰勒级数。

3. 亚纯函数

• 定义: 一个复变函数在一个区域内是亚纯的，如果它在该区域内除了有限个点外都是全纯的。这些点被称为函数的极点。
• 通俗理解: 亚纯函数在复平面上可以有“洞”，即某些点上函数值不存在或无穷大。
• 例子: $f(z)=1/z$ 是一个亚纯函数，它在 $z=0$ 处有一个极点。

区别和联系:

• 全纯函数和解析函数: 全纯函数和解析函数在复变函数理论中是等价的。这意味着一个函数是全纯的当且仅当它也是解析的。
• 亚纯函数: 亚纯函数是全纯函数的推广，它可以有有限个极点，但在其他点上是全纯的。

总结:

• 全纯/解析: 都是描述复变函数“平滑性”的性质。
• 亚纯: 允许函数在有限个点上有极点。

鞅、矩

概率论中的鞅和矩是两个重要的概念，在理解随机过程和随机变量的性质方面起着关键作用。

1. 鞅 martingale

• 定义: 一个随机过程 $X_t$ 被称为鞅，如果对于所有时间 $t$，满足以下条件：
  • $E[|X_t|]<\mathrm{\infty }$ （即 $X_t$ 的期望值是有限的）
  • $E[X_{t+1}|{\mathcal{F}}_t]=X_t$ （即 $X_t$ 的条件期望值等于它在时间 $t$ 的值）。
  • 其中，${\mathcal{F}}_t$ 表示直到时间 $t$ 的所有信息的集合，也称为过滤。
• 通俗理解: 鞅可以被看作是“公平游戏”，即在每个时间点，未来的期望值都等于现在所拥有的值。这意味着，从长远来看，你既不会赢也不会输。
• 例子: 一个简单的随机游走就是一个鞅。

2. 矩 moment

• 定义: 随机变量 $X$ 的 $k$ 阶矩定义为 $E[X^k]$，其中 $k$ 是一个非负整数。
• 通俗理解: 矩描述了随机变量的形状和分布。
• 例子:
  • 一阶矩是期望值 $E[X]$，它表示随机变量的平均值。
  • 二阶矩是方差 $Var[X]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$，它表示随机变量的离散程度。
  • 高阶矩提供了关于随机变量的偏度和峰度的信息。

鞅与矩的关系:

• 鞅的性质可以通过研究其矩来推断。例如，如果一个鞅的方差是有限的，那么它就是一个有限方差鞅。
• 矩可以用来刻画鞅的收敛性质。例如，如果一个鞅的二阶矩有界，那么它将几乎必然地收敛到一个有限值。

总结:

• 鞅是一个具有特定性质的随机过程，它反映了公平性。
• 矩描述了随机变量的形状和分布。
• 鞅和矩之间存在密切的联系，它们可以用来推断彼此的性质。

裕度 margin

margin原意有页边空白、押金、利润，可抽象出容错度的含义

裕度：留有一定余地的程度，允许有一定的误差

有噪音裕度、相位裕度、安全裕度等

熵、焓、自由能

熵、焓和自由能是热力学中三个重要的概念，它们描述了体系的能量变化和状态变化。

1. 熵 (Entropy)

• 定义: 熵是一个用来描述体系混乱程度的热力学函数，用符号 $S$ 表示。熵越大，体系越混乱；熵越小，体系越有序。
• 单位: 焦耳每开尔文 (J/K)。
• 联系: 熵的变化与体系的热量变化和温度有关，由以下公式描述：
  $$dS=\frac{dQ}{T}\$\$\mathrm{其}\mathrm{中}，\$dQ\$\mathrm{是}\mathrm{体}\mathrm{系}\mathrm{吸}\mathrm{收}\mathrm{的}\mathrm{热}\mathrm{量}，\$T\$\mathrm{是}\mathrm{体}\mathrm{系}\mathrm{的}\mathrm{温}\mathrm{度}。$$

2. 焓 (Enthalpy)

• 定义: 焓是一个用来描述体系能量的热力学函数，用符号 $H$ 表示。焓包括体系的内能 ($U$) 和体系因体积变化而做的功 ($PV$)，由以下公式描述：

  $$H=U+PV$$

• 单位: 焦耳 (J)。

• 联系: 焓的变化与体系的热量变化有关，由以下公式描述：

  $$dH=dQ+PdV\$\$\mathrm{其}\mathrm{中}，\$dV\$\mathrm{是}\mathrm{体}\mathrm{系}\mathrm{的}\mathrm{体}\mathrm{积}\mathrm{变}\mathrm{化}，\$P\$\mathrm{是}\mathrm{体}\mathrm{系}\mathrm{的}\mathrm{压}\mathrm{强}。$$

• 定义: 自由能是一个用来描述体系在恒温恒压条件下做功能力的热力学函数，用符号 $G$ 表示。自由能由焓 ($H$) 和熵 ($S$) 共同决定，由以下公式描述：

  $$G=H-TS$$

• 单位: 焦耳 (J)。

• 联系: 自由能的变化决定了反应的自发性。

  • 如果自由能变化 $\mathrm{\Delta }G<0$，则反应自发进行。
  • 如果自由能变化 $\mathrm{\Delta }G>0$，则反应非自发进行。
  • 如果自由能变化 $\mathrm{\Delta }G=0$，则反应处于平衡状态。

联系总结:

• 熵描述了体系的混乱程度，它与体系的热量变化和温度有关。
• 焓描述了体系的能量，它与体系的热量变化和体积变化有关。
• 自由能描述了体系做功的能力，它由焓和熵共同决定，并可以用来判断反应的自发性。

应用:

• 熵在化学反应中用来描述反应的混乱程度。
• 焓在化学反应中用来描述反应的热效应。
• 自由能广泛应用于化学、生物学和材料科学等领域，用来判断反应的自发性，以及设计新的材料和工艺。

继承，多态，封装，抽象，接口

这些是面向对象编程 (OOP) 中的核心概念，共同构成了 OOP 的基础。

1. 继承 (Inheritance)

• 定义: 继承是一种机制，允许一个类 (子类) 从另一个类 (父类) 继承属性和方法。子类可以扩展父类，添加新的属性和方法，或重写父类的现有方法。
• 目的: 继承的主要目的是实现代码复用和减少冗余。
• 优点:
  • 代码重用性高
  • 结构清晰，易于维护
  • 扩展性强
• 举例:
  • 在动物王国中，猫和狗都是哺乳动物，它们都拥有哺乳动物的共有属性，如毛发、乳腺等。我们可以用“哺乳动物”类来表示这些共同属性，而猫和狗可以继承这个类，并添加各自的独特属性。

2. 多态 (Polymorphism)

• 定义: 多态是指同一操作可以作用于不同类型的对象，并产生不同的结果。
• 目的: 多态使得代码更灵活、更易于维护，并可以减少代码重复。
• 优点:
  • 代码更加灵活和可扩展
  • 代码更易于维护
  • 降低了代码复杂度
• 举例:
  • 我们可以用同一个方法 speak() 来调用不同动物的叫声。猫会发出 "喵" 的声音，狗会发出 "汪" 的声音，而鸟会发出 "啾啾" 的声音。

3. 封装 (Encapsulation)

• 定义: 封装是指将数据和操作数据的代码捆绑在一起，并隐藏内部实现细节。
• 目的: 封装可以保护数据，防止意外修改，提高代码的安全性，并简化代码维护。
• 优点:
  • 保护数据安全
  • 简化代码维护
  • 提高代码可读性
• 举例:
  • 汽车引擎内部的复杂机制对使用者来说是隐藏的，用户只需要通过方向盘、油门和刹车等接口来控制汽车。

4. 抽象 (Abstraction)

• 定义: 抽象是指从具体事物中提取出共同的、本质的特征，并用抽象的概念来表示这些特征。
• 目的: 抽象可以简化复杂问题，提高代码的可读性和可维护性。
• 优点:
  • 简化复杂问题
  • 提高代码的可读性和可维护性
• 举例:
  • 动物类是一个抽象的概念，它描述了所有动物的共同特征，而具体的动物类型，如猫、狗、鸟等，则可以继承抽象的动物类。

5. 接口 (Interface)

• 定义: 接口是一种特殊的类，它只包含方法声明，不包含方法实现。
• 目的: 接口定义了类的行为规范，并提供了一种约束机制，确保实现接口的类都必须实现接口中定义的方法。
• 优点:
  • 提高代码的可维护性和可扩展性
  • 实现代码解耦
• 举例:
  • 一个动物接口可以定义 speak() 方法，而猫、狗、鸟等具体的动物类可以实现这个接口，并提供各自的叫声实现。

总结

这些概念是 OOP 中最重要的基础概念，它们相互协作，使得 OOP 成为一种强大且灵活的编程范式，可以帮助我们开发出高质量的软件。

接口和继承之间既有联系，也有区别。

联系：

• 实现接口可以看作是一种特殊的继承。 虽然接口本身不包含任何代码实现，但它定义了一组方法，实现接口的类必须提供这些方法的具体实现。这与子类继承父类，并需要实现父类的方法类似。
• 接口可以用来模拟多继承。 在一些编程语言中，不支持多继承，但是可以使用接口来实现类似的效果。例如，一个类可以同时实现多个接口，从而获得多个接口中定义的功能。
• 接口和继承都能够提高代码的复用性和可扩展性。 通过接口，可以定义一套通用的方法规范，而实现接口的类则可以根据自己的具体情况来实现这些方法。通过继承，可以复用父类的代码，并在此基础上进行扩展。

区别：

• 接口只定义方法，不包含方法实现；继承则可以包含方法实现。 实现接口的类必须提供接口中所有方法的具体实现，而继承父类的类可以继承父类中的方法实现，也可以重写父类的方法。
• 接口是契约，继承是关系。 接口定义了一组规范，实现接口的类必须遵守这些规范。继承则描述了类之间的关系，子类是父类的扩展。
• 一个类可以实现多个接口，但只能继承一个父类。 这在一些编程语言中是不同的，例如 Java 支持多重继承接口，但单一继承类。

总结：

接口和继承都是重要的编程工具，它们各自有自己的优势和劣势。选择使用接口还是继承取决于具体的编程需求。一般来说，如果需要定义一套通用的规范，并希望不同的类都能实现这些规范，则可以使用接口；如果需要复用父类的代码，并在此基础上进行扩展，则可以使用继承。

同态、同构、同调、同胚、同伦、同痕

英文名称：

• 同态 (Homomorphism): homomorphism
• 同构 (Isomorphism): isomorphism
• 同伦 (Homotopy): homotopy
• 同调 (Homology): homology
• 同胚 (Homeomorphism): homeomorphism
• 同痕 (Isotopy): isotopy

这些概念都用于描述数学对象之间某种形式的“相似性”。

1. 同态 (Homomorphism):

• 定义: 两个代数结构 (例如群、环、向量空间) 之间的映射，保持结构运算。也就是说，映射后的运算结果与原结构运算结果一致。
• 特点:
  • 最弱的等价关系，只要求结构运算保持一致，不考虑其他性质。
  • 不一定保持其他结构性质，例如逆元、单位元等。
• 举例: 两个群之间的映射，满足 f(a * b) = f(a) * f(b)，其中 * 表示群的运算。

2. 同构 (Isomorphism):

• 定义: 两个代数结构之间的同态，且该映射是双射 (bijective)，即既是单射 (injective) 又是满射 (surjective)。
• 特点:
  • 比同态更强，要求映射是双射，保证两个结构之间存在一一对应关系。
  • 结构完全相同，只是用不同的符号表示。
• 举例: 两个群之间存在一个同构映射，则它们具有相同的结构。

3. 同伦 (Homotopy):

• 定义: 两个连续映射之间的连续变形，它们在边界上保持一致。
• 特点:
  • 只考虑映射的连续变形关系，不考虑映射的具体形式。
  • 在同伦变换下保持不变的性质，就称为同伦不变量。比如亏格（洞眼的个数），欧拉示性数等等
  • 同伦是一种等价关系，所有不等价类构成一个群，称为第一同伦群（基本群）
• 举例: 两个路径从起点到终点，可以通过连续变形相互转换，则它们是同伦的。

4. 同痕 (Isotopy):

• 定义: 两个嵌入 (embedding) 之间的连续变形，它们在边界上保持一致，且变形过程始终保持嵌入性。
• 特点:
  • 比同伦更强，要求变形过程始终保持嵌入性。
  • 同痕是同伦的升级版，在纽结理论中格外重要。若两个结同痕，则我们视之相等
• 举例: 在二维平面中，两个圆形可以通过同痕变形互相转换，但不能通过同伦变形互相转换，因为同伦变形可能导致圆形交叉。

5. 同胚 (Homeomorphism):

• 定义: 两个拓扑空间之间的连续双射，其逆映射也连续。
• 特点:
  • 比同痕更强，要求两个空间之间存在连续的双射。
  • 同胚是拓扑空间范畴中的同构。
  • 拓扑空间之间具有相同的拓扑性质，例如开集、闭集、连通性等。
• 举例: 圆盘和圆环具有相同的同调群，但它们不是同胚的。

6. 同调 (Homology):

• 定义: 用于研究拓扑空间的代数性质，利用链复形 (chain complex) 来刻画空间的“孔洞”结构。
• 特点:
  • 同调群可以用来区分拓扑空间。
  • 同调的条件要弱于同伦。
• 举例: 两个拓扑空间具有相同的同调群，则它们具有相同的“孔洞”结构。

总结:

同态、同构、同伦、同痕、同胚、同调之间的层级关系反映了它们描述对象之间相似性的强弱程度。从弱到强，它们分别关注结构运算、结构性质、连续变形关系、嵌入性、拓扑性质、空间的“孔洞”结构。

共轭 conjugate

共轭在数学、物理、化学、地理等学科中都有出现。

本意：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。

• 共轭复数：两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。

• 群元素共轭：对于群内的任意两个元素g和h，如总能找到群内的一个元素p，使得$pg{p}^{-1}=h$，那么g和h共轭；显然，共轭复数与群元素共轭是两个概念（$pzp-1=p{p}^{-1}z=z$，所以实数关于自身是群共轭，不能统一）

• 共轭矩阵: 对于矩阵 A，它的共轭矩阵 $A^{\ast }$ 是将 A 的所有元素取共轭得到的矩阵。Hermitian 矩阵（$A^{\ast }=A$）和Unitary 矩阵（$A^{\ast }=A^{-1}$）均是共轭矩阵

• 共轭空间：在线性泛函分析中，对偶空间（dual space）或称共轭空间是一个赋范线性空间上全体连续线性泛函组成的 Banach 空间。

• 共轭水深：水跃中，跃前水深与跃后水深的互称或共称。

• 共轭双键：有机化合物分子结构中单键与双键相间的情况，具有共轭双键 conjugated double bonds的分子会产生共轭效应

• 共轭酸碱对：一对以质子得失关系联系起来的酸和碱，酸给出质子转变为相应的碱，碱接受质子转变为相应的酸

• 共轭对: 在电磁学中，电场和磁场是共轭对，它们相互影响和产生

“共轭”通常代表着两种对象之间的某种对应关系、等价性或相似性。 它们可能通过双射、同胚、映射关系、结构一致性等方式体现，并反映了这些对象在特定结构或性质上的相似性或等价性。

对偶空间 dual space

假设有数域$$\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{赋}\mathrm{范}\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{空}\mathrm{间}$$，其上的全体连续线性泛函$:\to$的全体${}^{\ast }$按照如下定义的加法和数乘$\mathrm{\forall }k,l\in \mathbb{K},\mathrm{\forall }f,g\in X^{\ast },(kf+lg)(x)=kf(x)+lg(x),\mathrm{\forall }x\in X.$组成线性空间

并定义$X^{\ast }$上的范数：$\mathrm{\forall }f\in X^{\ast },\Vert f{\Vert }_{X^{\ast }}=\underset{\stackrel{\stackrel{x\in X}{x\ne 0}}{}}{sup}{\displaystyle \frac{\Vert f(x)\Vert }{\Vert x\Vert }}.$

可以得到$||\cdot |{|}_{X^{\ast }}$是$X^{\ast }$上的范数，且作为赋范线性空间$(X^{\ast },||\cdot |{|}_{X^{\ast }})$还是完备的，进而是 Banach 空间。我们称这个空间为$X$的对偶空间。算子范数$||\cdot |{|}_{X^{\ast }}$在不引起混淆的情况下也记作||⋅||.

度量或度规 metric

度量是指测量空间中两点之间的距离的一种方式，又称距离或者度规，应当满足：

• 非负性
• 非退化性
• 对称性
• 三角不等式

度量：测度measure（长度、面积、体积、概率，角度，距离），熵，能量，动量，质量，流量

黎曼度量 （度量张量，Metric tensor）是一种在微分流形上定义的度量，它可以用来测量两个点之间的距离，以及曲面上的曲率。简单来说，它为每个点定义了一个内积，这个内积可以用来计算向量之间的夹角和长度。

弗雷歇度量： 弗雷歇度量是一种定义在函数空间上的度量，它可以用来测量两个函数之间的距离。

闵可夫斯基度量：闵可夫斯基距离

拓扑空间（Topological spaces）、度量空间（Metric space）、赋范空间（Normed space）和内积空间（Inner prodect space），层次递进的包含关系，拓扑空间是最普遍的空间

算子 operator

数学中的算子（算符）通常定义为一个函数，它将一个或多个对象映射到另一个对象；算子是一个函数空间到函数空间上的映射，该函数空间可以指包含内积空间或Hilbert空间的任何空间

物理中用来描述物理量（能量、动量、自旋）和场（希格斯场、电磁场、引力场），表示操作（积分、微分、旋转），定义量子态（量子系统状态）；物理中的算子通常是量子化的，它们只能取离散的值

• $\mathrm{\nabla }$：Nabla算子，Del算子，倒三角算子，向量微分算子，哈密顿算子，能量算子
  • 梯度gard：$\mathrm{\nabla }$直接作用于标量或者矢量函数$F$，$\mathrm{\nabla }F$
  • 散度div：$\mathrm{\nabla }$与矢量函数$\overrightarrow{F}$的点积，$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F}$
  • 旋度rot：$\mathrm{\nabla }$与矢量函数$\overrightarrow{F}$的叉积，$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F}$
• 狄拉克算子$D$：$D^2=\mathrm{\Delta }$，$Df=\sqrt{\mathrm{\Delta }f}$
• 哈密顿算子：能量算子，矢性微分算子，符号$\mathrm{\nabla }$
• 傅里叶变换算子
• 拉普拉斯算子$\mathrm{\Delta }$：梯度的散度，$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$
• Green 函数算子
• 积分
• 卷积

展开 expansion

泰勒展开的空间变化是局部的，因为它是在函数的某个点附近进行近似。这意味着，随着远离该点，近似的精度会下降。

傅里叶展开的空间变化是全局的，因为它在整个函数定义域内进行近似。这意味着，即使远离某个点，近似的精度也相对稳定。

• 1. 傅里叶正变换:
  • 将非周期函数 $f(t)$ 表示为一组连续的正弦波和余弦波的叠加。
  • 形式为: $F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

2. 傅里叶逆变换:

   • 可以从傅里叶变换域 $F(\omega )$ 重建出原始的时域函数 $f(t)$。
   • 形式为: $f(t)=1/2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

希尔伯特空间的基函数：

• 正弦和余弦函数
• 正交多项式，幂函数基底序列${\displaystyle \{1,x,x^2,\dots \}}$，如雅克比多项式，切比雪夫多项式，勒让德多项式，拉盖尔多项式，伯恩斯坦多项式，球谐多项式等
• 正交函数系，如阿尔法函数、网关函数等。
• 正交小波函数族

阿尔法函数和网关函数是一些常见的正交基函数,它们在信号处理和数字信号处理中有广泛应用。

1. 阿尔法函数（Alpha functions）:

   • 阿尔法函数是一组正交基函数,由下面的函数族定义:
     ${\varphi }_n(t)=\sqrt{\frac{2n+1}{\alpha }}\cdot \exp (-\frac{t^2}{2\alpha })\cdot H_n(\frac{t}{\sqrt{\alpha }})$
   • 其中 $H_n$ 是第 n 阶的埃尔米特多项式,$\alpha$ 是一个标量参数。
   • 阿尔法函数族具有很好的局域性和频谱特性,在信号和图像处理中有广泛应用。

2. 网关函数（Gabor functions）:

   • 网关函数也称为高斯窗拼接函数,是一种基于 Gabor 变换的正交基函数。
   • 网关函数的表达式为:
     $g(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{t^2}{2{\sigma }^2})\exp (i2\pi f_{0}t)$
   • 其中 $\sigma$ 是高斯窗的标准差,$f_0$ 是中心频率。
   • 网关函数具有很好的时频局域性,在时频分析、语音信号处理等领域有广泛应用。

在数学中,除了巴拿赫空间和希尔伯特空间之外,还有一些更加抽象和复杂的函数空间:

1. 李雅普诺夫空间(Lyapunov spaces)

   • 这是一类特殊的巴拿赫空间,具有额外的结构和性质,广泛应用于微分方程和控制理论。
   • 它们具有更强的拓扑结构和函数分解性质。

2. 康托尔空间(Cantor spaces)

   • 这是一类特殊的完备度量空间,由康托尔集的特殊结构定义。
   • 它们在计算机科学、信息论和逻辑学中有重要应用。

3. 阿尔法空间(Alphaspace)

   • 这是一类广义的巴拿赫空间,具有更复杂的拓扑结构和函数性质。
   • 它们可以用来研究非线性算子、变分不等式和优化问题。

4. 分数阶Sobolev空间(Fractional Sobolev spaces)

   • 这是一类基于分数阶微分的函数空间,推广了经典的Sobolev空间。
   • 它们在偏微分方程、分形理论和周期函数理论中有重要应用。

5. 无穷维拓扑向量空间(Infinite-dimensional topological vector spaces)

   • 这是一类更加抽象的函数空间,不仅具有线性结构,还有特殊的拓扑结构。
   • 它们在泛函分析、算子理论和量子物理中有广泛应用。