随机矩阵

简介

随机矩阵理论（Random Matrix Theory，RMT）利用统计力学的原理来模拟多个数学领域中复杂系统的交互作用。

应用领域

• 电子云密度，密度泛函
• 混沌理论
• 黎曼猜想，希尔伯特-波利亚猜想
• 神经科学
• 最优控制
• 数论
• 谐振子：弹簧振子，小幅钟摆，

随机矩阵：元素来自于概率分布采样的对称或共轭对称矩阵
实随机矩阵，对称矩阵
复随机矩阵，共轭对称矩阵（厄米矩阵）

$N(0,1)$分布的随机矩阵，矩阵元素来自$N(0,1)$分布的采样

• 随机矩阵是任意具有随机元素的矩阵，其元素为非负实数，且行和或列和为1，显然元素来自$N(0,1)$分布
• 如果行和为1，则称为行随机矩阵
• 如果列和为1，则称为列随机矩阵
• 如果行和和列和都为1，则称为双随机矩阵

对实矩阵进行旋转操作，施加的正交矩阵（每行和每列的模长为1，其转置=逆）

对复矩阵进行旋转操作，施加的酉矩阵（每行和每列的模长为1，其共轭转置=逆，正交矩阵都是酉矩阵）

指数分布的随机矩阵

高斯分布的随机矩阵

谱函数

矩阵$M$的谱：矩阵的特征值${\lambda }_i$的集合$\{{\lambda }_i\}$
矩阵$M$的行列式：$det(M)=\mathrm{\Pi }{\lambda }_i$
矩阵$M$的迹：$Tr(M)=\sum {\lambda }_i$
矩阵幂$M^n$的迹：$Tr(M^n)=\sum {\lambda }_i^n$
矩阵$M$的谱函数：$f(\{{\lambda }_i\})$

配分函数 Partition function：在具有实标量场和作用的一维场论中，配分函数在路径积分形式中被定义为泛函；概率分布的归一化因子。

$Z\equiv \int dMP(M)=\int dM·e^{-\frac{N}{2}Tr(M{M}^{\ast })}$，其中$dM=d{M}_{11}d{M}_{12}\dots \dots d{M}_{NN}$

矩阵的概率分布$P(M)$满足：

• 概率分布的乘积
• 权重和度量满足酉不变性

$P(M)\propto {\mathrm{\Pi }}_{i\le j}^N{p}_{ij}(M_{ij})$

$P(M)=P(UM{U}^{\ast })$

概率分布函数$P(M)$取高斯分布，波特和罗森斯坦证明高斯模型是唯一满足上述两个要求的集合

$\begin{array}{}\text{(1)}& Z\equiv \int dxdyP(x,y)=\int dxdy·e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\hfill \end{array}$

$P(x,y)=e^{-\frac{x^2}{2}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}=P(x)P(y)$

$\begin{array}{}\text{(2)}& Z\equiv \int dMP(M)=\int dM·e^{-\frac{1}{2}\sum _i{M}_{ii}^2+\sum _{i<j}(M_{ij}^R{)}^2+\sum _{i<j}(M_{ij}^I{)}^2}\hfill \end{array}$

两类概率分布

目标：找出不相关事件或特征值之间的间距分布

实际：研究间距的累积分布函数

定义$q(s)=P(t>s)$表示间距$t$大于$s$的概率，可以看作是给定特征值的任意两个之间距离为$s$的情况下，没有特征值的概率

$q(s+ds)=q(ds|s)$：区间$s$加上$ds$内没有特征值的概率=在没有特征值的情况下，在区间$ds$内没有特征值的概率

事件不相关

由于事件不相关，$q(s+ds)=q(s)q(ds)\approx q(s)(1-c·ds)$，$c$为单位区间内存在特征值的概率$q(s)=P(t>s)=1-{\int }_0^{s}P(t)dt$

移向，$\frac{q(s+ds)-q(s)}{ds}\equiv \frac{dq(s)}{ds}=-cq(s)$，已知$q(0)=P(t>0)=1$

微分方程通解：$q(s)=e^{-cs}$，于是，$P(s)=-\frac{dq(s)}{ds}=c{e}^{-cs}$

对于不相关的事件或特征值，间距的分布是指数分布，即泊松分布，意味着特征值之间更加倾向于靠近

事件相关

由于事件不相关，$q(s+ds)=q(s)q_s(ds)\approx q(s)(1-c·s·ds)$，$c$为单位区间内存在特征值的概率$q(s)=P(t>s)={\int }_0^{s}P(t)dt$

移向，$\frac{q(s+ds)-q(s)}{ds}\equiv \frac{dq(s)}{ds}=-c·s·q(s)$，已知$q(0)=P(t>0)=0$

微分方程通解：$q(s)=-c{e}^{-c{s}^2/2}$，于是，$P(s)=-\frac{dq(s)}{ds}\propto s{e}^{-c{s}^2/2}$

即高斯分布，意味着特征值之间更加倾向于远离（互相排斥），高斯随机矩阵是唯一一个具有独立同分布的元素且具有单位性和旋转不变性的随机矩阵

2*2 RMT

$M=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)$

$m_{ij}$为简单谐振子势能或高斯分布中采样得到，$2\ast 2$矩阵只有两个特征值，故只有一个间距$s$

令$M$为对称矩阵，$m_{12}=m_{21}$

${\lambda }_{\pm }=\frac{m_{11}+m_{22}\pm \sqrt{(m_{11}-m_{22}{)}^2+4m_{12}^2}}{2}$

$s\equiv {\lambda }_{+}-{\lambda }_{-}=\sqrt{(m_{11}-m_{22}{)}^2+4m_{12}^2}$

定义某点$S$为有序对$(m_{11}-m_{22}，2m_{12})$，$s$即为该点$S$到原点的距离

$P(s)\propto \int d{m}_{11}d{m}_{22}d{m}_{12}\delta (s-\sqrt{(d{m}_{11}-m_{22}{)}^2+4d{m}_{12}}P(d{m}_{11})P(d{m}_{22})P(d{m}_{12})$

$P(m_{11})=e^{-\frac{m_{11}^2}{2}}$，$P(m_{22})=e^{-\frac{m_{22}^2}{2}}$，$P(m_{12})=e^{-\frac{2m_{12}^2}{2}}$；对角元素方差是非对角元素方差的2倍

$P(m_{11})P(m_{22})P(m_{12})=e^{-\frac{1}{2}(m_{11}^2+m_{22}^2+2m_{12}^2)}$

$\begin{array}{c}P(s)\propto \int d{m}_{11}d{m}_{22}d{m}_{12}\delta (s-\sqrt{(d{m}_{11}-m_{22}{)}^2+4d{m}_{12}})P(d{m}_{11})P(d{m}_{22}P(d{m}_{12})\hfill \\ \text{(3)}& \hfill =\int d{m}_{11}d{m}_{22}d{m}_{12}\delta (s-\sqrt{(d{m}_{11}-m_{22}{)}^2+4d{m}_{12}}·e^{-\frac{1}{2}(m_{11}^2+m_{22}^2+2m_{12}^2)}\end{array}$

做个线性变换$u=\frac{m_{11}-m_{22}}{2}$，$v=\frac{m_{11}+m_{22}}{2}$，$w=2m_{12}$

$\begin{array}{}\text{(4)}& P(s)\propto \int dudvdw\delta (s-2\sqrt{u^2+w^2)}·e^{-(u^2+v^2+w^2)}\hfill \end{array}$

提取$v$的相关量做为常量，并做极坐标变换，$u=rsin\theta ,w=rcos\theta$，面积微元$dA=dudw=rdrd\theta$

$\begin{array}{}\text{(5)}& P(s)\propto {\int }_0^{\mathrm{\infty }}rdr{\int }_0^{2\pi }d\theta \delta (s-2r)·e^{-r^2}\propto s{e}^{-s^2}\hfill \end{array}$