根轨迹法

根轨迹法

开环系统 某一参数 从零变到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。

有负反馈闭环系统，$s$表示复数

可知：$(R-C)\frac{U}{V}=C$

显然，
闭环传递函数：$\mathrm{\Phi }(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{U(s)}{U(s)+V(s)}$
闭环特征方程：$U(s)+V(s)=0$
令开环传递函数为$G(s)=\frac{U(s)}{V(s)}$
则闭环特征方程：$1+G(s)=0$
（上述是负反馈闭环系统，正反馈闭环系统的特征方程则是$1-G(s)=0$）

当$U(s)=K_r$，$K_r\in R^{+}$时，即$U(s)$为幅值增益函数
取$V(s)$为多项式乘积，可令当$V(s)=s(s+2)$

那么，闭环特征根$s_{1,2}=-1\pm \sqrt{1-K_r}$

• $K_r=0$时，$s_1=0,s_2=-2$
• $0<K_r<1$时，$s_{1,2}=-1\pm \sqrt{1-K_r}$，不同的实根
• $K_r=1$时，$s_1=s_2=-1$
• $0<K_r<\mathrm{\infty }$时，$s_{1,2}=-1\pm j\sqrt{K_r-1}$，共轭复数根

由此，根轨迹绘制：参数$K_r$有0变化到$\mathrm{\infty }$过程中，特征根$s_{1,2}$在复平面内的轨迹

根轨迹分析

• 稳定性：$K_r>0$时，特征根均有负实部，系统稳定

• 稳态性能：先根据开环传递函数判断系统类型

  • 阶跃输入：没有稳态误差
  • 斜坡输入：有稳态误差

• 动态性能

  • $0<K_r<1$时，特征根为两个不同的负实根，过阻尼状态
  • $K_r=1$时，$s_1=s_2=-1$，临界阻尼状态
  • $0<K_r<\mathrm{\infty }$时，共轭复数根，欠阻尼状态，阻尼振荡
    

根轨迹方程

已知开环传递函数为$G(s)=\frac{U(s)}{V(s)}$
则闭环特征方程：$1+G(s)=0$
并存在开环增益$K_r$，且$G(s)$的（开环）零点记作$z_j$，（开环）极点记作$p_i$，则特征方程可写作：

$$1+K_r\frac{\prod _{j=1}^m(s-z_j)}{\prod _{i=1}^n(s-p_i)}=0$$

该形式的特征方程称为根轨迹方程。其中$K_r$为实变量，$z_j,p_i$为复常量，这两者条件均需要满足

实例1

方程参数满足要求，属于根轨迹方程

$$1+G(s)=1+K^{\ast }\frac{s+2}{s(s+3)}=0$$

实例2

闭环传递函数：$\mathrm{\Phi }(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$，其中$G(s)=\frac{10}{s(s+2)},H(s)=1+K_{t}s$
闭环特征方程：$1+G(s)H(s)=0$

方程中的增益参数$K_t$变化过程中，$G(s)H(s)$开环零点不满足其为复常数的要求，特征方程变化不属于根轨迹方程

$$1+G(s)H(s)=1+\frac{10(1+K_{t}s)}{s(s+2)}=0$$

但可以将其转化等效根轨迹方程：

$$1+\frac{10(1+K_{t}s)}{s(s+2)}\equiv 1+\frac{10K_{t}s}{(s+1+3j)(s+1-3j)}=0$$

根轨迹的幅值与相角

根轨迹方程：

$$1+K_r\frac{\prod _{j=1}^m(s-z_j)}{\prod _{i=1}^n(s-p_i)}=0$$

这是标准的180°根轨迹，$K_r$为非负，$s$系数为正；负反馈系统是否为0度还是180度的根轨迹（控制器可以控制特征方程的相位），需要看根轨迹方程的形式，因为控制器和系统本身会影响根轨迹方程，$G(s)$是关于$s$最高次系数为正的线性分式多项式

• 0度根轨迹：$1-G(s)=0$
• 180度根轨迹：$1+G(s)=0$

根据复数的相角运算规则：

$\sum _{j=1}^m\mathrm{\angle }(s-z_j)-\sum _{i=1}^n\mathrm{\angle }(s-p_i)=\pm (2k+1)\pi$，其中$k=0,1,2,3\dots \dots$
称之为相角条件，根轨迹的充要条件

移项后，等式两边一同取模：

$$K_r\frac{\prod _{j=1}^m|s-z_j|}{\prod _{i=1}^n|s-p_i|}=1$$

于是，得到幅值条件，用于确定根轨迹上某点对应的增益值

$$K_r=\frac{\prod _{i=1}^n|s-p_i|}{\prod _{j=1}^m|s-z_j|}$$

实例

已知系统开环传递函数，判断复平面的一点$s_1$是否为根轨迹上的点

裕度 margin

负反馈系统本质是初始输入减去输出的误差作为新的输入（即期望新的输入小于初始输入），系统有延时或者传递函数会影响输出的相位，即输入与输出的不一定同相，反相时负反馈反倒变成正反馈

当系统中的延迟达到180°时，反馈信号就是给定信号反相。此时，若进行负反馈，则可以等效为将反馈信号反相的正反馈

此外，正反馈系统不一定发散，即增益K很小时，系统输出可能级数收敛

相位滞后180°时，即相位-180°，系统未必是发散的。此时，开环增益K对系统的稳定性和性能有较大影响

由此出现相位裕度phase margin（或称稳定裕度）和增益裕度gain margin（或称幅值裕度）

• 相位裕度：频率响应的增益达到1时（增益交界频率），相位与-180°的差值
• 增益裕度：频率响应（开环传递函数中令s=jw）的相位达到-180°时（相位交界频率处），增益的倒数为增益裕量，$GM=20lgK$

二者常出现在Nyquist图和Bode图中，实际设计时，要保持足够的相位裕度和增益裕度。

• 在频率 $\text{\_}$ 处，相位再滞后$PM$，系统将达到临界稳定状态。
• 增益裕度 $\text{\_}$ 为一个系数，若开环系统的增益增加该系数倍，则闭环系统达到稳定的临界状态。