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复数的矩阵表示

复数

复数\(z\)定义:\(a+bi\)

其中\(a,b∈R\)\(i^2=-1\)\(i\)又称为圆复数(虚数)单位,\(a\)为实部\(Re(z)=a\)\(b\)为虚部\(Im(z)=b\),复数域记作\(C\)

0.复数三角形式和指数形式

  • \(z=a+bi = r(\cos\theta +i \sin\theta) = re^{i\theta}\)

1.复数域是实数域的代数(加法和乘法)闭包,定义复数域内的加法和乘法

  • \((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
  • \((a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i\)
  • 加法单位元为0,乘法单位元为1
  • 加法逆元唯一,除零乘法逆元唯一
  • 对加法和乘法满足交换律,结合律,分配律

2.复数的模

  • \(z=a+bi\)的模:\(|z|=\sqrt {a^2+b^2}\)

3.复数的辐角

  • 指数形式下,\(z\)的模等于\(r\)\(\theta\)称为\(z\)的辐角,记作\(Arg(z)\)
  • \(\theta ∈[-\pi , \pi]\),则称为\(z\)的主辐角,记作\(arg(z)\)

4.共轭复数

  • \(z=a+bi\)的共轭复数:\(|\hat z|=a-bi\)
  • \(z\)与其共轭复数的模相等,二者乘积为模长的平方

复数的矩阵映射

除了圆复数外,对偶数和双曲复数都具有同构矩阵

对于复数\(z=a+bi\)\(a,b∈R\),复数到特定形式二阶矩阵的同构映射

\(a+bi=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\)

显然,该类矩阵对加法和乘法满足交换律,结合律,分配律;纯虚数对应的矩阵为反对称矩阵(\(A^T=-A\),主对角线元素必为0)

\((a+bi)+(c+di)=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c\end{pmatrix}=(c+di)+(a+bi)\)

\((a+bi)×(c+di)=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(bc+ad) \\ bc+ad & ac-bd\end{pmatrix} =(ac-bd)+(bc+ad)i\)

1.虚数i,0,1

\(i=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\)\(0=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)\(1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)

2.共轭复数=矩阵的转置

\(\hat z=a-bi=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} ^T\)

对于负单位模长(假设存在)\(x^2+y^2=-1\),取\(P=\begin{pmatrix} x & y \\ y & -x\end{pmatrix}=P^T\),那么:
\(P^{-1}=\left(\begin{matrix}\frac{x}{x^2+y^2} & \frac{-y}{x^2+y^2} \\\frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{-x}{x^2+y^2}\end{matrix}\right)=\begin{pmatrix} -x & -y \\ -y & x\end{pmatrix}=-P\)

\(PZP^{-1}=\hat Z\),满足群元素的共轭,那么\(P\)对应的复数(又一种复数?)又是怎样的?

因为\(x^2+y^2=-1\),令\(x=i\cos\theta,y=i\sin\theta\)\(\theta\)为实数,则

\(P=\begin{pmatrix} x & y \\ y & -x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} i\cos\theta & i\sin\theta \\ i\sin\theta & -i\cos\theta\end{pmatrix}=P^T\)

\(T=\left(\begin{matrix}\ \cos\theta & \ \sin\theta \\ \ \sin\theta & -\ \cos\theta\end{matrix}\right)\),发现\(T=T^{-1}=T^T\)\(T^2=E\)

\(T\)的转置等于其逆,且\(T\)为正交矩阵,矩阵\(T\)有何特殊之处

共轭复数与群元素共轭是两个不同的概念

  • 复数域满足交换律,按照群元素共轭概念来来,只有实数同时具有元素共轭且满足共轭复数的定义
  • 若群也满足交换律,那么群内元素的共轭为该元素本身

3.加法逆元

\(-a-bi=\begin{pmatrix} -a & b \\ -b & -a\end{pmatrix}\)

4.模长的平方=行列式

  • 模=行列式开方

\(|z|^2=|z\hat z|=\begin{vmatrix} a & -b \\ b & a\end{vmatrix}={a^2+b^2}\)

5.乘法逆元=转置矩阵/行列式的平方

\(z^{-1}=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a\end{pmatrix}/({a^2+b^2})^2\)

6.三角形式

\(a+bi=r\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\)

所以复数(\(z=a+bi\)\(a,b∈R\))对加法和乘法构成域,同构映射到特定形式的矩阵(\(\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix}\))对矩阵加法和矩阵乘法构成矩阵域

复数只包含两个参数,2×2矩阵包含四个参数,所有必可以找到一类矩阵与复数同构

7.矩阵的对角矩阵或相似矩阵

\(a+bi\rightleftharpoons\)\(\left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)=P\left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)P^{-1}\)

\(\left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right)\)有两个特征向量(特征值):\(v_1=\left(\begin{matrix}-i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_1=a−i*b\)\(v_2=\left(\begin{matrix}i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_2=a+i*b\)

其中,\(P=\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right)\)\(P^{-1}=\left(\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)\)

\(\overline{a+bi} =a-bi\rightleftharpoons \left(\begin{matrix} a & b \\ -b & a\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}i & -i \\1 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)=Q\left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)Q^{-1}\)
\(\left(\begin{matrix} a & b \\ -b & a\end{matrix}\right)\)有两个特征向量(特征值):\(v_1=\left(\begin{matrix} i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_3=a−i*b\)\(v_2=\left(\begin{matrix} -i \\1\end{matrix}\right)\), 特征值 \(λ_4=a+i*b\)

其中,\(Q=\left(\begin{matrix}i & -i \\1 & 1\end{matrix}\right)=2({P^{-1}})^T\)\(Q^{-1}=\left(\begin{matrix} \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)=\frac{1}{2} P^{T}\)

8.幂

\((a+bi)^2=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^2=\left(\begin{matrix}a^2-b^2 & -2*a*b \\2*a*b & a^2-b^2\end{matrix}\right)\)

\((a+bi)^3=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix}a^3-3*a*b^2 & b^3-3*a^2*b \\-b^3+3*a^2*b & a^3-3*a*b^2\end{matrix}\right)\)

\((a+bi)^4=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^4=\left(\begin{matrix}a^4+b^4-6*a^2*b^2 & 4*a*b^3-4*a^3*b \\-4*a*b^3+4*a^3*b & a^4+b^4-6*a^2*b^2\end{matrix}\right)\)

\((a+bi)^n=\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)^n=\left(\begin{matrix}-i & i \\1 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}a-i*b & 0 \\0 & a+i*b\end{matrix}\right)^n \left (\begin{matrix} \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{-i}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right)\)

9.秩

\(rank \left(\begin{matrix} a & -b \\b & a\end{matrix}\right)=\left\{\begin{matrix}2;a≠0,b≠0 \\1;a≠0,b=0 \\2; a=0,b≠0 \\0;a=0,b=0\end{matrix}\right.\)

10.矩阵指数

\(e^{a+bi}=exp\left(\begin{matrix}a & -b \\b & a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e^a*\\cos\left(b\right) & -e^a*\\sin\left(b\right) \\e^a*\\sin\left(b\right) & e^a*\\cos\left(b\right)\end{matrix}\right)\)

11.矩阵乘法性质

  • 乘法结合律: \((AB)C=A(BC)\)
  • 乘法左分配律:\((A+B)C=AC+BC\)
  • 乘法右分配律:\(C(A+B)=CA+CB\)
  • 对数乘的结合性:\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)
  • 转置: \((AB)^T=B^TA^T\)

四元数的矩阵映射

哈密顿放弃乘法交换律,\(i\)扩充成三个虚单位元\(i,j,k\),且有\(i^2=j^2=k^2=-1,ijk=-1,ij=-ji\),四元数定义为\(q=x+yi+zj+wk,其中x,y,z,w∈R\)

1.四元数的模长

\(|q|=\sqrt{x²+y²+z²+w²}\)

模长为1的四元数为单位四元数

2.四元数的共轭

\(\hat q=x-yi-zj-wk\)

\(q\hat q=|q|^2\)

3.没有良好的三角形式,只有方向余弦

\(q=r(\cos \alpha+i\cos \beta +j\cos \gamma +k\cos \theta)\),其中\(\alpha,\beta ,\gamma ,\theta\)\(q\)与四个坐标系的夹角,\(r\)\(q\)的模长;所以使用四元数表示旋转时,没有旋转矩阵的角度的意义显然

4.两种矩阵表示

4.1 表示方法一,2\*2复矩阵
  • \(q=x+yi+zj+wk \equiv \begin{pmatrix} x-wi & -y+zi\\ y+zi & x+wi\end{pmatrix}\)

  • 那么四元数的加法与矩阵的加法相容,四元数的乘法也与矩阵的乘法相容,而四元数的模长为矩阵行列式的平方根,四元数的共轭就是矩阵的共轭转置。

  • \(z=w=0\)时,四元数\(q=x+yi+zj+wk\)退化为复数\(x+yi\)

  • \(i\equiv \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\)\(j\equiv \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}\)\(k\equiv \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix}\)\(1\equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)

    4.1 表示方法二,\(4*4\)实矩阵

  • \(q=x+yi+zj+wk \equiv \begin{pmatrix} x & -y & w & -z\\ y & x & -z & -w\\-w & z & x & -y\\ z & w & y & x\end{pmatrix}\)

  • 四元数的模长是矩阵行列式的平方根,四元数的共轭是矩阵的转置

  • \(k=ij\),可以得到\(q=x+yi+zj+wij=(x+yi)+(z+wi)j\),记\(a=x+yi\)\(b=z+wi\),即\(q=a+bj\),其中\(a,b∈C\)

5.四元数的乘法

  • 不满足交换律
  • 结合叉乘和点乘

平移、缩放、旋转变换矩阵

平移矩阵(Translation)

\((x,y,z)\)表示当前位置, \((x',y',z')\)表示新的位置, \((dx,dy,dz)\)平移的量。

2D平移

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} dx\\dy\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & dx\\ 0 & 1 & dy\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1(x)+0(y)+dx(1)\\0(x)+1(y)+dy(1) \\0(x)+0(y)+1(1)\end{pmatrix}=T_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)

3D平移

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} dx\\dy\\dz\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0& dx\\ 0 & 1& 0 & dy\\ 0& 0 &1& dz\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1(x)+0(y)+0(z)+dx(1)\\0(x)+1(y)+0(z)+dy(1) \\0(x)+0(y)+1(z)+dz(1)\\0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{pmatrix}=T_{xyz}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)


缩放矩阵(Scaling)

\((x,y,z)\)表示未缩放前的原始位置,\((x',y',z')\)表示经过缩放后的新位置,\(S_x、S_y、S_z\)分别表示在\(x\)轴、\(y\)轴和\(z\)轴方向上的缩放因子。

注意:计算多个点的缩放,需要将每个点位置分别代入公式计算。

2D缩放

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_x & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_x(x)+0(y)+0(1)\\0(x)+S_y(y)+0(1) \\0(x)+0(y)+1(1)\end{pmatrix}=S_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)

3D缩放

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}S_x & 0 & 0& 0\\ 0 & S_y& 0 & 0\\ 0& 0 &S_z& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} S_x(x)+0(y)+0(z)+0(1)\\0(x)+S_y(y)+0(z)+0(1) \\0(x)+0(y)+S_z(z)+0(1)\\0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{pmatrix}=S_{xyz}\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)


旋转矩阵(rotation)

\((x,y,z)\)表示未旋转前的原始位置,\((x',y',z')\)表示一个点经过旋转后的新位置, $$为在右手坐标系中,逆时针旋转角度(编程中以弧度为单位) ,

注意:计算多个点的旋转,需要将每个点位置分别代入公式计算。

2D旋转

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=R_{2d}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)

注:\(\theta\)为平面内绕原点逆时针旋转角度

绕Z轴3D旋转,Z轴指向自己,X正半轴旋转90°到Y正半轴为逆时针

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0& 0\\ \sin\theta & \cos\theta& 0 & 0\\ 0& 0 &1& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_z\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)

绕X轴3D旋转,X轴指向自己,Y正半轴旋转90°到Z正半轴为逆时针

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0& 0\\ 0 & \cos\theta& -\sin\theta & 0\\ 0& \sin\theta &\cos\theta& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_x\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)

绕Y轴3D旋转,Y轴指向自己,Z正半轴旋转90°到X正半轴为逆时针

\(\begin{pmatrix} x'\\y'\\z'\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & \sin\theta& 0\\ 0 & 1& 0 & 0\\ -\sin\theta& 0 &\cos\theta& 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=R_y\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1\end{pmatrix}\)

坐标轴具有轮换对称性,\(R_z\)通过行line或列column交换(偶次数)可变成\(R_x\),具体操作如下,两次行交换+两次列交换(保持坐标系的手性进行,对空间向量进行线性变换等价于对坐标系进行逆变换):

  • \(L_3 \longleftrightarrow L_2\)
  • \(L_1 \longleftrightarrow L_2\)
  • \(C_3 \longleftrightarrow C_2\)
  • \(C_1 \longleftrightarrow C_2\)

同理,\(R_z\)通过行line或列column交换(偶次数)可变成\(R_y\),具体操作如下:

  • \(L_3 \longleftrightarrow L_2\)
  • \(C_3 \longleftrightarrow C_2\)
  • \(L_1 \longleftrightarrow L_3\)
  • \(C_1 \longleftrightarrow C_3\)

此外,还有倾斜或者剪切矩阵,就是将向量某一投影方向进行缩放,即对其分量(点乘基向量)进行缩放

复变函数

复变函数:以自变量为复数,因变量亦为复数的函数

复数\(z=x+yi\)\(w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),其中\(x,y∈R,u(x,y),v(x,y)\)是实变函数,那么\(w=f(z)\)就是复变函数

一个复变函数的值域取决于以下几个因素:

  1. 定义域:定义域是复变函数自变量取值的所有可能点构成的集合。一个函数的值域首先受限于其定义域的选取。
  2. 连续性:一个复变函数如果在定义域内连续,那么其值域至少是连续的。连续性保证了函数在某个区域内不会出现跳跃,从而有助于确定值域。
  3. 解析性:复变函数如果在其定义域内是解析的,即存在导数,那么其值域通常更加广泛。解析函数具有很好的局部性质,其值域可以包含复平面上的任意点。

详细地,对于具体的复变函数,可以通过以下方法探究其值域:

  • 对于简单的复变函数,如多项式函数(\(f(z)=\sum_{k}^{i=0} a_i z^i\) ),其值域是整个复平面,因为多项式函数可以取到复平面上任意点。
  • 对于有理函数,其值域则可能是一个去掉了一些点的复平面。这是因为有理函数在某些点可能无定义或者趋于无穷。
  • 对于指数函数、对数函数和三角函数等初等函数,它们的值域通常是复平面上的某个区域。

复数可视化

复变函数\(w=f(z)\)是将复数映射到复数,即输入\(z\)包含实部和虚部的二维信息,输出\(w\)包含实部和虚部的二维信息,使用三维空间是不足以描述其图像的

1. 3D plots

不同颜色的三维曲面

在复平面上增加一个轴\(R\),复平面表示输入,轴\(R\)表示输出的模长,点采用颜色表示输出的相位(辐角),色相环正好对应\([0,2\pi)\)

当然,轴\(R\)表示输出的实部,点采用颜色表示输出的虚部——没有上述巧妙

可以描述连续变化

2. Vector fields

不同颜色和长度的二维向量

在复平面上标记有限个点(一般选取整数格点),格点表示输入,使用带颜色的不同模长的矢量表示输出

3. Domain colouring

不同颜色和亮度的平面

用平面上点的位置代表自变量的实部和虚部,用亮度和色相分别代表函数值的模长和辐角。

4. z-w planes

弯曲坐标系,把自变量的点弯曲到函数值

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儒可夫斯基函数\(w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})\)

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5. Riemann sphere

平面作为自变量,球面作为因变量,把平面放在球面上

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6.自动控制原理中的根轨迹

传递函数一般是分式线性映射,讨论根的分布

复变函数的矩阵映射

1.非线性多项式复变函数的矩阵映射

\(f(z)= z^2+z+2=(x+yi)^2+(x+yi)+2=(x^2-y^2+x+2)+(2xy+y)i\)

那么

\(f(A)= A^2+A+2E=\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix}^2+\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^2-y^2+x+2 & -(2xy+y) \\ 2xy+y & x^2-y^2+x+2\end{pmatrix}\)

例如,

\(1+2i \overset{f}{\rightarrow} 6i\)

\(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \overset{f}{\rightarrow} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\)

能否将\(f\)变换成矩阵乘法,假设可以,那么这里等价于\(f(A)=PAQ\),由于矩阵乘法是线性变换,所以

\(f(A)=PAQ=\begin{pmatrix} m_{11}x+n_{11}y & m_{12}x+n_{12}y \\ m_{21}x+n_{21}y & m_{22}x+n_{22}y\end{pmatrix}\),其中\(m,n,b∈R\)

显然,\(\begin{pmatrix} m_{11}x+n_{11}y & m_{12}x+n_{12}y\\ m_{21}x+n_{21}y & m_{22}x+n_{22}y\end{pmatrix}≠\begin{pmatrix} x^2-y^2+x+2 & -(2xy+y) \\ 2xy+y & x^2-y^2+x+2\end{pmatrix}\)

所以非线性变换无法等价于矩阵乘法;\(P\)的元素\(p_{ij}\)均为常数,\(A\)的元素\(a_{ij}\)均为变量,则\(PA\)的元素必为线性\(\sum p_{kj} a_{jk}\)(不是一次,没有截距)

2.一次复变函数的矩阵映射

\(f(z)= kz+a+bi =k(x+yi)+\frac{b}{y}(x+yi)+a-\frac{bx}{y}\) ,其中\(x,y,k,a,b∈R,y≠0\)

\(y≠0\)\(f(z)= kz+b\)形式,故以此为通用的线性复变函数形式

那么

\(f(A)= kA+bE=\begin{pmatrix} kx+b & -ky \\ ky & kx+b\end{pmatrix}\)

同上,二阶矩阵A通过乘法,\(PAQ\)结果中的元素不会出现常数项b

显然,对平移变量b,需要进行升维才能处理

\(z=x+yi{\rightarrow}\begin{pmatrix} x & -y & 0 \\ y & x & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

\(f(z)=kz+b=kx+b+kyi{\rightarrow}\begin{pmatrix} kx+b & -ky & 0 \\ ky & kx+b & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\),其中\(k,b∈R\)

\(P\begin{pmatrix} x & -y & 0 \\ y & x & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}Q= \begin{pmatrix} kx+b & -ky & 0 \\ ky & kx+b & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)

同样不能找到\(PQ\),因为\(f(z)\)不是线性函数(有疑问,线型函数是描述直线方程的一个比较恰当的同义词),仿射变换(其常数项不为0),其集合空间中的元素为矩阵——一次函数不一定是线性的

  • \(f(z_1+z_2)=k(z_1+z_2)+b≠f(z_1)+f(z_2)\) \(\Leftrightarrow f(A_1+A_2)=k(A_1+A_2)+bE≠f(A_1)+f(A_2)\)
  • \(f(mz_1)=k(mz_1)+b≠mf(z_1)\)\(\Leftrightarrow f(A_1)=k(A_1)+bE≠kf(A_1)\)

矩阵空间

线性空间\(V\)中的一个变换\(A\),要验证它是否为一个线性变换

只要看对于\(V\)中任意的元素\(α,β\)和数域\(P\)中任意\(k\),是否都有

  • \(A(α+β)=A(α)+A(β)\)
  • \(A (kα)=kA(α)\)

其中\(A(α)\)称为\(α\)在变换\(A\)下的像,可以表示为 \(()=\),其中\(A\)是一个矩阵,\(x\)是一个向量

线性空间是由向量集合\(V\)、域\(P\)、加法运算\(+\)和标量乘法(数乘\(*\))组成的模类代数结构

则称代数系统\((V,+,*,P)\)\(V\)关于\(+,*\)构成\(P\)上的一个线性空间\(P\)为线性空间的基域\(V\)中元素称为 向量\(P\)中元素称为标量。当域\(P\)为实数域时,称为实线性空间。当域\(P\)为复数域时,称为复线性空间。

矩阵空间是由矩阵集合\(T\)、域\(P\)、加法运算\(+\)和标量乘法(数乘\(*\))组成的模类代数结构

只要看对于\(T\)中任意的元素\(A,B\)和数域\(P\)中任意\(k\),是否都有(P为矩阵作用)

  • \(P(A+B)=P(A)+P(B)\):乘法分配律
  • \(P(kA)=kP(A)\)

显然,矩阵空间\(T\)是线性空间,所以函数作用\(f(A)=PA=nA\),结果必为线性

而且复数只能表示二维平面上的点,不如直接矩阵来得直观;且复变函数包含平移、缩放和旋转等操作,用矩阵来研究复变函数多有不便

直接映射的想法是行不通的(哪里出差错?,一次函数不一定是线性变换,所以若要使得函数作用在矩阵上等价于矩阵乘法,该函数必须为线性函数)

增广矩阵,解非齐次方程,仿射变换,将平移量放在第三个基上\([0,0,1]^T\),用于保存\(b\)的信息

缩放矩阵和平移矩阵来描述复变函数

\(z=x+yi{\rightarrow}\begin{pmatrix} x \\ y \\1\end{pmatrix}\)

\(f(z)=kz+b+ci=kx+b+(ky+c)i{\rightarrow}\begin{pmatrix} kx+b \\ ky+c \\ 1\end{pmatrix}\),其中\(k,b∈R\)

\(f(z)= kz+b+ci\)表示对z同方向缩放k倍后,再向实轴正方向平移b,向虚轴正方向平移c

\(\begin{pmatrix} kx+b\\ky+c\\1 \end{pmatrix}=T_{xy}S_{xy}\begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & b\\ 0 & 1 & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k & 0 & b\\ 0 & k & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\1\end{pmatrix}\)

所以只能把复数当作一维向量看待,才能完成同构,此时

\(f\rightleftharpoons \begin{pmatrix}k & 0 & b\\ 0 & k & c\\ 0& 0 &1\end{pmatrix}\)

3.复变函数的保角映射(共形映射)

映射\(w=f (z)\)是区域\(D\)上的保角映射的充分必要条件\(f (z)\)\(D\)内解析, 并且\(f'(z)≠0\)

images/复数的矩阵表示-20240612095032588.webp

3.1 分式线性映射

\(w=\frac{az+b}{cz+d}\),其中\(a,b,c,d\)为复常数,且\(ad-bc≠0\)

显然,倒数映射(又叫反演映射)\(w=\frac{1}{z}\)是保角映射

平移变换(\(w=z+b\),b为复常数),等比例缩放(\(w=kz,k>0\))和旋转变换(\(w=e^{i\theta}z\))都是保角映射

分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射 的复合映射

性质

  • 一一映射,双方单值映射
  • 保角性
  • 保圆性,圆周映射后还是圆周(直线看作半径为无穷大的圆周)
  • 保对称性

3.2 指数函数的保角映射

\(w=e^z\)在复平面内处处解析,且\(w≠0\)

3.3 儒可夫斯基函数,用于解决机翼截面的绕流

\(w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})\)

参考资料与注释

posted @ 2024-06-12 10:58  Invo1  阅读(734)  评论(0编辑  收藏  举报