复数的矩阵表示

复数

复数$z$定义：$a+bi$

其中$a,b\in R$，$i^2=-1$，$i$又称为圆复数（虚数）单位，$a$为实部$Re(z)=a$，$b$为虚部$Im(z)=b$，复数域记作$C$

0.复数三角形式和指数形式

• $z=a+bi=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$

1.复数域是实数域的代数（加法和乘法）闭包，定义复数域内的加法和乘法

• $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• $(a+bi)\times (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
• 加法单位元为0，乘法单位元为1
• 加法逆元唯一，除零乘法逆元唯一
• 对加法和乘法满足交换律，结合律，分配律

2.复数的模

• $z=a+bi$的模：$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

3.复数的辐角

• 指数形式下，$z$的模等于$r$，$\theta$称为$z$的辐角，记作$Arg(z)$
• 若$\theta \in [-\pi ,\pi ]$，则称为$z$的主辐角，记作$arg(z)$

4.共轭复数

• $z=a+bi$的共轭复数：$|\hat{z}|=a-bi$
• $z$与其共轭复数的模相等，二者乘积为模长的平方

复数的矩阵映射

除了圆复数外，对偶数和双曲复数都具有同构矩阵

对于复数$z=a+bi$，$a,b\in R$，复数到特定形式二阶矩阵的同构映射：

$a+bi=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$

显然，该类矩阵对加法和乘法满足交换律，结合律，分配律；纯虚数对应的矩阵为反对称矩阵（$A^T=-A$，主对角线元素必为0）

$(a+bi)+(c+di)=\left(\begin{array}{cc}a+c& -(b+d)\\ b+d& a+c\end{array}\right)=(c+di)+(a+bi)$

$(a+bi)\times (c+di)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& -(bc+ad)\\ bc+ad& ac-bd\end{array}\right)=(ac-bd)+(bc+ad)i$

1.虚数i，0，1

$i=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$0=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，$1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

2.共轭复数=矩阵的转置

$\hat{z}=a-bi=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^T$

对于负单位模长（假设存在）$x^2+y^2=-1$，取$P=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& -x\end{array}\right)=P^T$，那么：
$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{x}{x^2+y^2}& \frac{-y}{x^2+y^2}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}& \frac{-x}{x^2+y^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-x& -y\\ -y& x\end{array}\right)=-P$

$PZ{P}^{-1}=\hat{Z}$，满足群元素的共轭，那么$P$对应的复数（又一种复数？）又是怎样的？

因为$x^2+y^2=-1$，令$x=i\cos \theta ,y=i\sin \theta$，$\theta$为实数，则

$P=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& -x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i\cos \theta & i\sin \theta \\ i\sin \theta & -i\cos \theta \end{array}\right)=P^T$

令$T=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$，发现$T=T^{-1}=T^T$；$T^2=E$

$T$的转置等于其逆，且$T$为正交矩阵，矩阵$T$有何特殊之处

共轭复数与群元素共轭是两个不同的概念

• 复数域满足交换律，按照群元素共轭概念来来，只有实数同时具有元素共轭且满足共轭复数的定义
• 若群也满足交换律，那么群内元素的共轭为该元素本身

3.加法逆元

$-a-bi=\left(\begin{array}{cc}-a& b\\ -b& -a\end{array}\right)$

4.模长的平方=行列式

• 模=行列式开方

$|z{|}^2=|z\hat{z}|=\left|\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right|=a^2+b^2$

5.乘法逆元=转置矩阵/行列式的平方

$z^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)/(a^2+b^2{)}^2$

6.三角形式

$a+bi=r\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

所以复数（$z=a+bi$，$a,b\in R$）对加法和乘法构成域，同构映射到特定形式的矩阵（$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$）对矩阵加法和矩阵乘法构成矩阵域

复数只包含两个参数，2×2矩阵包含四个参数，所有必可以找到一类矩阵与复数同构

7.矩阵的对角矩阵或相似矩阵

$a+bi\rightleftharpoons$$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i& i\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a-i\ast b& 0\\ 0& a+i\ast b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{cc}a-i\ast b& 0\\ 0& a+i\ast b\end{array}\right)P^{-1}$

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$有两个特征向量（特征值）：$v_1=\left(\begin{array}{c}-i\\ 1\end{array}\right)$, 特征值 ${\lambda }_1=a-i\ast b$；$v_2=\left(\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right)$, 特征值 ${\lambda }_2=a+i\ast b$

其中，$P=\left(\begin{array}{cc}-i& i\\ 1& 1\end{array}\right)$，$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\overline{a+bi}=a-bi\rightleftharpoons \left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}i& -i\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a-i\ast b& 0\\ 0& a+i\ast b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{-i}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{cc}a-i\ast b& 0\\ 0& a+i\ast b\end{array}\right)Q^{-1}$
$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$有两个特征向量（特征值）：$v_1=\left(\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right)$, 特征值 ${\lambda }_3=a-i\ast b$；$v_2=\left(\begin{array}{c}-i\\ 1\end{array}\right)$, 特征值 ${\lambda }_4=a+i\ast b$

其中，$Q=\left(\begin{array}{cc}i& -i\\ 1& 1\end{array}\right)=2(P^{-1}{)}^T$，$Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{-i}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}{P}^T$

8.幂

$(a+bi{)}^2={\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-b^2& -2\ast a\ast b\\ 2\ast a\ast b& a^2-b^2\end{array}\right)$

$(a+bi{)}^3={\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^3=\left(\begin{array}{cc}{a}^3-3\ast a\ast b^2& b^3-3\ast a^2\ast b\\ -b^3+3\ast a^2\ast b& a^3-3\ast a\ast b^2\end{array}\right)$

$(a+bi{)}^4={\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^4=\left(\begin{array}{cc}{a}^4+b^4-6\ast a^2\ast b^2& 4\ast a\ast b^3-4\ast a^3\ast b\\ -4\ast a\ast b^3+4\ast a^3\ast b& a^4+b^4-6\ast a^2\ast b^2\end{array}\right)$

$(a+bi{)}^n={\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}-i& i\\ 1& 1\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}a-i\ast b& 0\\ 0& a+i\ast b\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{cc}\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

9.秩

$rank\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\{\begin{array}{c}2;a\ne 0,b\ne 0\\ 1;a\ne 0,b=0\\ 2;a=0,b\ne 0\\ 0;a=0,b=0\end{array}$

10.矩阵指数

$e^{a+bi}=exp\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^a\ast \\ cos\left(b\right)& -e^a\ast \\ sin\left(b\right)\\ e^a\ast \\ sin\left(b\right)& e^a\ast \\ cos\left(b\right)\end{array}\right)$

11.矩阵乘法性质

• 乘法结合律： $(AB)C=A(BC)$
• 乘法左分配律：$(A+B)C=AC+BC$
• 乘法右分配律：$C(A+B)=CA+CB$
• 对数乘的结合性：$k(AB)=(kA)B=A(kB)$
• 转置： $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

四元数的矩阵映射

哈密顿放弃乘法交换律，$i$扩充成三个虚单位元$i,j,k$，且有$i^2=j^2=k^2=-1,ijk=-1,ij=-ji$，四元数定义为$q=x+yi+zj+wk，\mathrm{其}\mathrm{中}x,y,z,w\in R$

1.四元数的模长

$|q|=\sqrt{x²+y²+z²+w²}$

模长为1的四元数为单位四元数

2.四元数的共轭

$\hat{q}=x-yi-zj-wk$

$q\hat{q}=|q{|}^2$

3.没有良好的三角形式，只有方向余弦

$q=r(\cos \alpha +i\cos \beta +j\cos \gamma +k\cos \theta )$，其中$\alpha ，\beta ，\gamma ，\theta$是$q$与四个坐标系的夹角，$r$是$q$的模长；所以使用四元数表示旋转时，没有旋转矩阵的角度的意义显然

4.两种矩阵表示

4.1 表示方法一，2\*2复矩阵

• $q=x+yi+zj+wk\equiv \left(\begin{array}{cc}x-wi& -y+zi\\ y+zi& x+wi\end{array}\right)$

• 那么四元数的加法与矩阵的加法相容，四元数的乘法也与矩阵的乘法相容，而四元数的模长为矩阵行列式的平方根，四元数的共轭就是矩阵的共轭转置。

• 当$z=w=0$时，四元数$q=x+yi+zj+wk$退化为复数$x+yi$

• $i\equiv \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，$j\equiv \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$，$k\equiv \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)$，$1\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

  4.1 表示方法二，$4\ast 4$实矩阵

• $q=x+yi+zj+wk\equiv \left(\begin{array}{cccc}x& -y& w& -z\\ y& x& -z& -w\\ -w& z& x& -y\\ z& w& y& x\end{array}\right)$

• 四元数的模长是矩阵行列式的平方根，四元数的共轭是矩阵的转置

• $k=ij$，可以得到$q=x+yi+zj+wij=(x+yi)+(z+wi)j$，记$a=x+yi$，$b=z+wi$，即$q=a+bj$，其中$a,b\in C$

5.四元数的乘法

• 不满足交换律
• 结合叉乘和点乘

平移、缩放、旋转变换矩阵

平移矩阵(Translation)

$(x,y,z)$表示当前位置， $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$表示新的位置， $(dx,dy,dz)$平移的量。

2D平移

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& dx\\ 0& 1& dy\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1(x)+0(y)+dx(1)\\ 0(x)+1(y)+dy(1)\\ 0(x)+0(y)+1(1)\end{array}\right)=T_{xy}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

3D平移

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& dx\\ 0& 1& 0& dy\\ 0& 0& 1& dz\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1(x)+0(y)+0(z)+dx(1)\\ 0(x)+1(y)+0(z)+dy(1)\\ 0(x)+0(y)+1(z)+dz(1)\\ 0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{array}\right)=T_{xyz}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

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缩放矩阵(Scaling)

$(x,y,z)$表示未缩放前的原始位置，$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$表示经过缩放后的新位置，$S_x、S_y、S_z$分别表示在$x$轴、$y$轴和$z$轴方向上的缩放因子。

注意：计算多个点的缩放，需要将每个点位置分别代入公式计算。

2D缩放

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{S}_x& 0& 0\\ 0& S_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{S}_x(x)+0(y)+0(1)\\ 0(x)+S_y(y)+0(1)\\ 0(x)+0(y)+1(1)\end{array}\right)=S_{xy}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

3D缩放

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{S}_x& 0& 0& 0\\ 0& S_y& 0& 0\\ 0& 0& S_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{S}_x(x)+0(y)+0(z)+0(1)\\ 0(x)+S_y(y)+0(z)+0(1)\\ 0(x)+0(y)+S_z(z)+0(1)\\ 0(x)+0(y)+0(z)+1(1)\end{array}\right)=S_{xyz}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

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旋转矩阵(rotation)

$(x,y,z)$表示未旋转前的原始位置，$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$表示一个点经过旋转后的新位置， $$为在右手坐标系中，逆时针旋转角度(编程中以弧度为单位) ,

注意：计算多个点的旋转，需要将每个点位置分别代入公式计算。

2D旋转

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=R_{2d}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

注：$\theta$为平面内绕原点逆时针旋转角度

绕Z轴3D旋转，Z轴指向自己，X正半轴旋转90°到Y正半轴为逆时针

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=R_z\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

绕X轴3D旋转，X轴指向自己，Y正半轴旋转90°到Z正半轴为逆时针

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=R_x\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

绕Y轴3D旋转，Y轴指向自己，Z正半轴旋转90°到X正半轴为逆时针

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & 0& \sin \theta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)=R_y\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$

坐标轴具有轮换对称性，$R_z$通过行line或列column交换（偶次数）可变成$R_x$，具体操作如下，两次行交换+两次列交换（保持坐标系的手性进行，对空间向量进行线性变换等价于对坐标系进行逆变换）：

• $L_3⟷L_2$
• $L_1⟷L_2$
• $C_3⟷C_2$
• $C_1⟷C_2$

同理，$R_z$通过行line或列column交换（偶次数）可变成$R_y$，具体操作如下：

• $L_3⟷L_2$
• $C_3⟷C_2$
• $L_1⟷L_3$
• $C_1⟷C_3$

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此外，还有倾斜或者剪切矩阵，就是将向量某一投影方向进行缩放，即对其分量（点乘基向量）进行缩放

复变函数

复变函数：以自变量为复数，因变量亦为复数的函数

复数$z=x+yi$，$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$x,y\in R，u(x,y),v(x,y)$是实变函数，那么$w=f(z)$就是复变函数

一个复变函数的值域取决于以下几个因素：

1. 定义域：定义域是复变函数自变量取值的所有可能点构成的集合。一个函数的值域首先受限于其定义域的选取。
2. 连续性：一个复变函数如果在定义域内连续，那么其值域至少是连续的。连续性保证了函数在某个区域内不会出现跳跃，从而有助于确定值域。
3. 解析性：复变函数如果在其定义域内是解析的，即存在导数，那么其值域通常更加广泛。解析函数具有很好的局部性质，其值域可以包含复平面上的任意点。

详细地，对于具体的复变函数，可以通过以下方法探究其值域：

• 对于简单的复变函数，如多项式函数（$f(z)=\sum _k^{i=0}{a}_i{z}^i$ ），其值域是整个复平面，因为多项式函数可以取到复平面上任意点。
• 对于有理函数，其值域则可能是一个去掉了一些点的复平面。这是因为有理函数在某些点可能无定义或者趋于无穷。
• 对于指数函数、对数函数和三角函数等初等函数，它们的值域通常是复平面上的某个区域。

复数可视化

复变函数$w=f(z)$是将复数映射到复数，即输入$z$包含实部和虚部的二维信息，输出$w$包含实部和虚部的二维信息，使用三维空间是不足以描述其图像的

1. 3D plots

不同颜色的三维曲面

在复平面上增加一个轴$R$，复平面表示输入，轴$R$表示输出的模长，点采用颜色表示输出的相位（辐角），色相环正好对应$[0,2\pi )$

当然，轴$R$表示输出的实部，点采用颜色表示输出的虚部——没有上述巧妙

可以描述连续变化

2. Vector fields

不同颜色和长度的二维向量

在复平面上标记有限个点（一般选取整数格点），格点表示输入，使用带颜色的不同模长的矢量表示输出

3. Domain colouring

不同颜色和亮度的平面

用平面上点的位置代表自变量的实部和虚部，用亮度和色相分别代表函数值的模长和辐角。

4. z-w planes

弯曲坐标系，把自变量的点弯曲到函数值

儒可夫斯基函数$w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$

5. Riemann sphere

平面作为自变量，球面作为因变量，把平面放在球面上

6.自动控制原理中的根轨迹

传递函数一般是分式线性映射，讨论根的分布

复变函数的矩阵映射

1.非线性多项式复变函数的矩阵映射

$f(z)=z^2+z+2=(x+yi{)}^2+(x+yi)+2=(x^2-y^2+x+2)+(2xy+y)i$

那么

$f(A)=A^2+A+2E={\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)}^2+\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-y^2+x+2& -(2xy+y)\\ 2xy+y& x^2-y^2+x+2\end{array}\right)$

例如，

$1+2i\stackrel{f}{\to }6i$

$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)\stackrel{f}{\to }\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 6& 0\end{array}\right)$

能否将$f$变换成矩阵乘法，假设可以，那么这里等价于$f(A)=PAQ$，由于矩阵乘法是线性变换，所以

$f(A)=PAQ=\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}x+n_{11}y& m_{12}x+n_{12}y\\ m_{21}x+n_{21}y& m_{22}x+n_{22}y\end{array}\right)$，其中$m,n,b\in R$

显然，$\left(\begin{array}{cc}{m}_{11}x+n_{11}y& m_{12}x+n_{12}y\\ m_{21}x+n_{21}y& m_{22}x+n_{22}y\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}{x}^2-y^2+x+2& -(2xy+y)\\ 2xy+y& x^2-y^2+x+2\end{array}\right)$

所以非线性变换无法等价于矩阵乘法；$P$的元素$p_{ij}$均为常数，$A$的元素$a_{ij}$均为变量，则$PA$的元素必为线性$\sum p_{kj}{a}_{jk}$（不是一次，没有截距）

2.一次复变函数的矩阵映射

$f(z)=kz+a+bi=k(x+yi)+\frac{b}{y}(x+yi)+a-\frac{bx}{y}$ ，其中$x,y,k,a,b\in R,y\ne 0$

若$y\ne 0$，$f(z)=kz+b$形式，故以此为通用的线性复变函数形式

那么

$f(A)=kA+bE=\left(\begin{array}{cc}kx+b& -ky\\ ky& kx+b\end{array}\right)$

同上，二阶矩阵A通过乘法，$PAQ$结果中的元素不会出现常数项b

显然，对平移变量b，需要进行升维才能处理

$z=x+yi\to \left(\begin{array}{ccc}x& -y& 0\\ y& x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$f(z)=kz+b=kx+b+kyi\to \left(\begin{array}{ccc}kx+b& -ky& 0\\ ky& kx+b& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，其中$k,b\in R$

$P\left(\begin{array}{ccc}x& -y& 0\\ y& x& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)Q=\left(\begin{array}{ccc}kx+b& -ky& 0\\ ky& kx+b& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

同样不能找到$PQ$，因为$f(z)$不是线性函数（有疑问，线型函数是描述直线方程的一个比较恰当的同义词），仿射变换（其常数项不为0），其集合空间中的元素为矩阵——一次函数不一定是线性的

• $f(z_1+z_2)=k(z_1+z_2)+b\ne f(z_1)+f(z_2)$ $\iff f(A_1+A_2)=k(A_1+A_2)+bE\ne f(A_1)+f(A_2)$
• $f(m{z}_1)=k(m{z}_1)+b\ne mf(z_1)$$\iff f(A_1)=k(A_1)+bE\ne kf(A_1)$

矩阵空间

线性空间$V$中的一个变换$A$，要验证它是否为一个线性变换

只要看对于$V$中任意的元素$\alpha ，\beta$和数域$P$中任意$k$，是否都有

• $A(\alpha +\beta )=A(\alpha )+A(\beta )$
• $A(k\alpha )=kA(\alpha )$

其中$A(\alpha )$称为$\alpha$在变换$A$下的像，可以表示为 $()=$，其中$A$是一个矩阵，$x$是一个向量

线性空间是由向量集合$V$、域$P$、加法运算$+$和标量乘法（数乘$\ast$）组成的模类代数结构

则称代数系统$(V,+,\ast ,P)$是$V$关于$+,\ast$构成$P$上的一个线性空间，$P$为线性空间的基域，$V$中元素称为 向量，$P$中元素称为标量。当域$P$为实数域时，称为实线性空间。当域$P$为复数域时，称为复线性空间。

矩阵空间是由矩阵集合$T$、域$P$、加法运算$+$和标量乘法（数乘$\ast$）组成的模类代数结构

只要看对于$T$中任意的元素$A，B$和数域$P$中任意$k$，是否都有（P为矩阵作用）

• $P(A+B)=P(A)+P(B)$：乘法分配律
• $P(kA)=kP(A)$

显然，矩阵空间$T$是线性空间，所以函数作用$f(A)=PA=nA$，结果必为线性

而且复数只能表示二维平面上的点，不如直接矩阵来得直观；且复变函数包含平移、缩放和旋转等操作，用矩阵来研究复变函数多有不便

直接映射的想法是行不通的（哪里出差错？，一次函数不一定是线性变换，所以若要使得函数作用在矩阵上等价于矩阵乘法，该函数必须为线性函数）

增广矩阵，解非齐次方程，仿射变换，将平移量放在第三个基上$[0,0,1{]}^T$，用于保存$b$的信息

缩放矩阵和平移矩阵来描述复变函数

$z=x+yi\to \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

$f(z)=kz+b+ci=kx+b+(ky+c)i\to \left(\begin{array}{c}kx+b\\ ky+c\\ 1\end{array}\right)$，其中$k,b\in R$

$f(z)=kz+b+ci$表示对z同方向缩放k倍后，再向实轴正方向平移b，向虚轴正方向平移c

$\left(\begin{array}{c}kx+b\\ ky+c\\ 1\end{array}\right)=T_{xy}{S}_{xy}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& b\\ 0& k& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

所以只能把复数当作一维向量看待，才能完成同构，此时

$f\rightleftharpoons \left(\begin{array}{ccc}k& 0& b\\ 0& k& c\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3.复变函数的保角映射（共形映射）

映射$w=f(z)$是区域$D$上的保角映射的充分必要条件是$f(z)$在$D$内解析, 并且$f^{\prime }(z)\ne 0$

3.1 分式线性映射

$w=\frac{az+b}{cz+d}$，其中$a,b,c,d$为复常数，且$ad-bc\ne 0$

显然，倒数映射（又叫反演映射）$w=\frac{1}{z}$是保角映射

平移变换（$w=z+b$，b为复常数），等比例缩放（$w=kz，k＞0$）和旋转变换（$w=e^{i\theta }z$）都是保角映射

分式线性映射是平移、旋转、相似、反演映射 的复合映射

性质

• 一一映射，双方单值映射
• 保角性
• 保圆性，圆周映射后还是圆周（直线看作半径为无穷大的圆周）
• 保对称性

3.2 指数函数的保角映射

$w=e^z$在复平面内处处解析，且$w\ne 0$

3.3 儒可夫斯基函数，用于解决机翼截面的绕流

$w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$

参考资料与注释

• 线性代数-矩阵
• 矩阵计算器
• 线性空间