幂平均数

幂平均数也叫$p$次幂平均数，$p$为非零实数，$\{x_i\}$为实数集合，则该集合的$p$次幂平均数为：

$$M_p(x_1,\dots ,x_n)={(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i^p)}^{\frac{1}{p}}$$

根据$p$的不同取值，有不同含义，该式统一各种常见的平均数，且函数$M_p$关于$p$是单调增函数

注意：$p$次幂平均数与$p$-范数（闵可夫斯基距离）数学形式上十分相近

故：

p取值	含义
$-\infty$	$min\{x_1,x_2,\dots \dots ，x_n\}$
-1	调和平均数
趋于0	几何平均数
1	算术平均数
2	平方平均数
3	立方平均数
$+\infty$	$max\{x_1,x_2,\dots \dots ，x_n\}$

如果$a<p<b$，且$0<\alpha <1$，那么则有加权幂平均数：

$$M_a<\alpha \ast M_a+(1-\alpha )\ast M_b<M_b$$

希罗平均数：两个非负实数的一种加权幂平均数

$$H=\frac{1}{3}(A+\sqrt{AB}+B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{A+B}{2}+\frac{1}{3}\cdot \sqrt{AB}$$