摆线与渐开线的参数方程

摆线

建立两个平面直角坐标系，一个是固定系$O$，另一个是不定系$O^{\prime }$，二者初始状态完全重合，置于一个半径为$R$的圆，圆上取其一点v${\left(\begin{array}{cc}0& -R\end{array}\right)}^T$

旋转与平移矩阵——左乘矩阵

矢量u应升级为${\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right)}^T$

1.对于固定系$O$而言，矢量u绕$O$顺时针$\theta$的旋转矩阵$R$

$$R=\left(\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

2.对于固定系$O$而言，矢量u沿着$x$正方向平移$dx$且沿$y$正方向平移$dy$的平移矩阵$T$

$$T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& dx\\ 0& 1& dy\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

摆线方程推导

摆线：圆沿着直线无滑动旋转，圆上固定一点(二维)所形成的轨迹

对于点$v$升级（三维）为${\left(\begin{array}{ccc}0& -R& 1\end{array}\right)}^T$，摆线获取的等价过程：圆绕$O$旋转$\theta$，再沿$y$正方向平移$R$，再沿$x$正方形平移$R\theta$，点$v$形成的轨迹即时摆线

摆线轨迹方程$F:{\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right)}^T$，有$F=T\ast R\ast v$，$\theta \in [0,2\pi ]$

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& R\theta \\ 0& 1& R\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}0\\ -R\\ 1\end{array}\right)$$

故

$$\{\begin{array}{c}x=R(\theta -sin\theta )\\ y=R(1-cos\theta )\end{array}$$

其实第三阶段可以直接推导出参数方程

渐开线

摆线与渐开线的对比：

• 摆线：切线固定，圆无摩擦滚动，圆上固定一点的轨迹
• 渐开线：圆固定，切线无摩擦滚动，切线上固定一点的轨迹
• 二者是对偶的关系

一条直线$BK$在圆上作无摩擦滚动时，直线上任意一点$K$的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，半径用$r_b$表示，直线$BK$称为渐开线的发生线。

显然：

• 1）发生线在基圆上滚过的长度$\overline{BK}$ 等于基圆上被滚过的弧长$\stackrel{⌢}{AB}$ ，即$\overline{BK}=\stackrel{⌢}{AB}$。
• 2）发生线$BK$是渐开线在$K$点处的法线。
• 3）向径越大，即离基圆圆心越远，渐开线上对应点处的压力角越大。基圆上的压力角等于零。

$$\{\begin{array}{c}x=r_b(\varphi +\varphi \sin \varphi )\\ y=r_b(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi )\end{array}$$