Q-模拟
定义：
\[[n]_q=\sum_{i=0}^{n-1} q^i=\lim_{x\rightarrow q} \frac{1-x^n}{1-x} \\
[n]_q!=\prod_{i=1}^{n} [i]_q \\
\binom{n}{m}_q=\frac{[n]_q!}{[m]_q![n-m]_q!}
\]
有如下性质：
\[\binom{n}{m}_q=q^m\binom{n-1}{m}_q+\binom{n-1}{m-1}_q
\]
这个式子展开即可证明。
所以我们得到了 \(\binom{n}{m}_q\) 的一个组合意义：从 \((0,0)\) 行走到 \((n-m,m)\)，每次只能向上或右走一格，对于所有路径求出 \(q^{路径右下方的格子数}\) 并求和。
同时有
\[\binom{n}{m}_q=\binom{n-1}{m}_q+q^{n-m}\binom{n-1}{m-1}_q
\]
根据这个，我们可以得出另一个性质：
\[\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^ix)=\sum_{i=0}^n q^{i(i-1)}\binom{n}{i}_qx^i
\]
此外这个式子还有一种不需要组合意义的简洁证法：
令 \(F(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^ix)\)，则
\[F(qx)=\prod_{i=0}^{n-1}(1+q^{i+1}x)=\frac{1+q^nx}{1+x}F(x)
\]
\[(1+x)F(qx)=(1+q^nx)F(x)
\]
\[q^if_i+q^{i-1}f_{i-1}=f_i+q^nf_{i-1}
\]
\[f_i=\frac{q^n-q^{i-1}}{q^i-1}f_{i-1}
\]
根据 \(f_0=1\) 带入即可。
