「2020-2021 集训队作业」春天，在积雪下结一成形，抽枝发芽

先DP

由析合树的知识，我们发现我们要算的就是根为析点，且儿子数等于 \(n\) 的树对应的排列的数量 \((n > 2)\)。

记此方案数为 \(f_n\) 。

我们容斥计算，首先排列任意，会有 \(n!\) 的贡献。

然后我们分别减去根为析点且儿子数不足 \(n\) 与根为合点的情况。

记把 \(1 \sim n\) 划分为 \(i\) 段，每段值域是连续的且前面段中的数小于后面段中的数的方案数为 \(w_{n,i}\) 。

析点的计算方法：我们枚举根的儿子数，每个儿子对应的区间显然值域是连续的，我们枚举划分段数 \(i(i<n)\) ，则一共有 \(f_iw_{n,i}\) 种排列方式。

合点的计算方法：

假设 \(n\ge2\)，

我们记恰好分成 \(i(i\ge 2)\) 段的方案数为 \(g_i\) ，我们考虑 \(w_{n,i}\) 与 \(g_i\) 的关系。

显然有 \(w_{n,i}=\sum_{j=i}^n g_j\binom{j-1}{i-1}\) 。二项式反演一下就可以得到 \(g_i\) 的表达式。

因为我们要容斥掉的方案数是 \(g_i\) 的和，我们考虑每个 \(w_{n,i}\) 的贡献。

我们发现 \(w_{n,i}\) 的总贡献显然是 \((-1)^i\) 。

因为合点的儿子可以单调上升或下降，所以减去的方案数要乘 \(2\) 。

于是对于 \(n\ge 2\) ，有：

\[f_n=n!-\sum_{i=2}^{n-1} f_iw_{n,i}-2\sum_{i=2}^{n} (-1)^iw_{n,i} \]

我们可以做一些小小的变换：

\[-\sum_{i=2}^{n} f_iw_{n,i}-2\sum_{i=1}^{n} (-1)^iw_{n,i}=n! \]

考虑怎么算 \(w_{n,i}\) ，设 \(G(x)=\sum_{i=1}i!x^i\) ，则 \(w_{n,i}=[x^n]G(x)^i\)。

也就是

\[-[x^n](\sum_{i=2}^{n} f_iG(x)^i+2\sum_{i=1}^{n} (-1)^iG(x)^i)=n! \]

\[\sum_{i=2} f_iG(x)^i-\frac{2G(x)}{1+G(x)}=-G(x)-x \]

\[\sum_{i=2} f_iG(x)^i=\frac{-G(x)^2+G(x)}{1+G(x)}-x \]

设 \(F(x)=\sum_{i=0} f_ix^i\) （记 \(f_0=f_1=0\)），

即 \(F(G(x))=\frac{-G(x)^2+G(x)}{1+G(x)}-x\) 。

记 \(G(x)\) 的复合逆为 \(P(x)\) ，则有 \(F(x)=\frac{-x^2+x}{1+x}-P(x)\) 。

直接拉格朗日反演可以获得 \(60\) 分的好成绩（

考虑加速，我们发现 \(x^2G'(x)+x+xG(x)=G(x)\) 。

于是有 \(\frac{P(x)^2}{P'(x)}+(x+1)P(x)=x\) 。

展开得到 \(\sum_{i=0}^np_ip_{n-i}+\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p_{i+1}(p_{n-i}+p_{n-i-1})=np_n\) 。

\[p_n=-\sum_{i=1}^{n-1}p_ip_{n-i}-\sum_{i=1}^{n-2}(i+1)p_{i+1}(p_{n-i}+p_{n-i-1})-p_{n-1} \]

其中 \(p_0=0,p_1=1\) 。

然后就可以分治FFT了，还可以使用 \(O(\frac{nlog^2n}{loglogn})\) 的半在线卷积（