更快的多项式多点求值？

一个奇妙的科技

定义卷积矩阵\(M=\)

\[\begin{matrix} a_0&0&0&...\\ a_1&a_0&0&...\\ a_2&a_1&a_0&...\\ ...&...&...&...\\ \end{matrix}\]

显然，我们把多项式系数\(a_0,a_1...\)拿下来放到这个方阵中，另一个多项式写成列向量的形式，用此矩阵乘向量即是对另一个多项式模\(x^n\)意义下的多项式乘法

幂和矩阵：\(A=\)

\[\begin{matrix} 1&1&1&...\\ x_0&x_1&x_2&...\\ x_0^2&x_1^2&x_2^2&...\\ ...&...&...&...\\ \end{matrix}\]

多点求值矩阵\(B=A^T\)

幂和可以分治FFT，通分即可

我们把分治FFT的过程拆开来看，我们令\(C_i\)为分治过程中\(i\)节点（看成线段树的结构）中所有多项式的乘积（即\(\prod_{i=l}^r(x-a_i)\)）（写成方阵的形式）

幂和矩阵按分治FFT拆开：

\[M_i=M_{2i}C_{2i+1}+M_{2i+1}C_{2i} \]

\(M_i\)表示我们幂和通分后只考虑\(l\sim r\)的\(a_j\)时的分子的多项式（写成方阵的形式），叶节点的\(M_i\)就是常数多项式\(F(x)=1\)对应方阵

\(A=QM_1\)，Q是逆元多项式写成的卷积矩阵

我们把幂和的n个变量写成列向量x的形式

\(Ax\)则是幂和的答案

然后一步神仙操作，我们发现幂和多项式的转置就是多点求值多项式，于是\(A^Tx\)是我们要的

我们有\((AB)^T=B^TA^T\)

直接整个转置即可（把分治FFT的过程全反过来）

这时我们把矩阵展开，重新写成多项式，卷积多项式矩阵的转置乘向量写成卷积形式就是差卷积

只要求一次逆即可

复杂度依然\(O(nlog^2n)\)，可以5e5多点求值~~~