Derivatives

导数

放些有意思的题

https://www.sohu.com/a/541531382_121124032

https://zhuanlan.zhihu.com/p/33711279

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\(\textsf {sdrow s'nxt}\)

其实导数这个东西很神奇，求导把单调性问题变为正负问题，而若正负问题不好求可以考虑再次求导根据单调性画出图像得出正负性，感觉这是一个套娃的过程。

由于引入了超越函数，分组和放缩是两个很重要的东西。

首先是分组，分组本质上是把求导上性质相似的函数放在一起（其实图像法也是把好画的函数丢在一起画图）从而让导函数变得规则。

对数单身狗，指数找朋友，三角函数

比如你把单独的 \(\ln x\) 和 \(x^a\) 放一起求导，你会得到一个关于 \(x\) 的多项式。

相反的，比如你看到三角函数这种东西会丢开（把三角函数单独放一起），因为求导后 \(\sin\to\cos,\cos\to\sin\)，就非常难缠。

\(e^x\) 求导之后还是 \(e^x\)，而且 \(e^x\) 单调性上有着极好的性质。

貌似关于三角函数的单参数恒成立问题我发现了一点：端点效应可能很好用，哪怕端点的结果不好。因为三角函数它的值一般不会很好。

放缩则是把超越函数 \(\to\) 多项式的一个工具。

主元也是很重要的一个方法，它其实就是偏导。

同构我学会了一点小技巧：就是当出现复杂的式子，比如 \(a\) 同时出现在次数和系数上就可以考虑同构。

基本概念及公式

• \(y=f(x)\) 在 \(x=x_0\) 处的导数为 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\)，切线方程为 \(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)

原函数 - - - - - - - - - -	导函数 - - - - - - - - - -
\(y=c\) (常数函数)	\(y'=0\)
\(y=x^a\) (\(a\in Q\))	\(y'=ax^{a-1}\)
\(y=a^x\)	\(y'=a^x\ln a\)
\(y=\log_ax\)	\(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\)
\(y=\sin x\)	\(y'=\cos x\)
\(y=\cos x\)	\(y'=-\sin x\)
\(y=e^x\)	\(y'=e^x\)
\(y=\ln x\)	\(y'=\dfrac 1x\)
\(y=\sqrt x\)	\(y'=\dfrac{\sqrt x}{2x}\)
\(y=x\ln x\)	\(y'=1+\ln x\)
\(y=xe^x\)	\(y'=(x+1)e^x\)

基本求导法则：

• \([f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\)
• \([f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\Rightarrow [c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x)\)
• \([\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)
• \([f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)\)

\(\mathtt{ii}\) 洛必达

\(\underset{x\rightarrow 0(\infty)}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0(\infty)}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)（满足条件即可反复使用）

注意事项

1. 必须是\(\dfrac00\)或\(\dfrac\infty\infty\)，否则会出错。
2. 两函数相乘转化为相除
3. （结论）\(x\rightarrow \infty\) 时，变化快慢分等级：\(e^x>x^a>\ln x\)

\(\mathtt{iii}\) 常用函数放缩表

对数函数： \(\ln x\le x-1,\;\ln x\le\dfrac1e x,\;\ln x\le x^2-x,\;\ln x>1-\dfrac1x\)
指数函数： \(e^x\ge x+1,\;e^x\ge ex,\;e^x\ge \dfrac12 x^2+x+1,(\text{actually, }e^x\ge \sum_{i=0}^\infty \dfrac{x^i}{i!})\\e^x\le \dfrac{1}{1-x}(x<1),\;e^x<-\dfrac1x(x<0)\)
混合： \(e^x-\ln x>2\)
三角函数： \(\sin x<x<\tan x(x\in (0, \dfrac\pi 2)),\;\sin x<x(x\in(0,+\infty)),\;\sin x>x(x\in(-\infty,0))\\\sin x\ge x-\dfrac{x^3}{6}(x\ge 0),\;\sin x\ge x-\dfrac12x^2(x\ge 0)\\1-\dfrac12 x^2\le\cos x\le 1-\dfrac12\sin^2x(x\ge 0)\)
综合函数： \(x\ln x\ge-\dfrac1e,\;\dfrac{\ln x}{x}\le\dfrac1e,\;\dfrac{x}{\ln x}\ge e(x>1)\\xe^x\ge-\dfrac1e,\;\dfrac{e^x}{x}\ge e(x>0),\;\dfrac{x}{e^x}\le\dfrac1e\)

\(\mathtt{v}\) 三次函数

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)，令\(f'(x)\)为\(0\)。

判别式：\(\Delta=4(b^2-3ac)\)

图像：

• \(a>0:\)
  • \(\Delta>0\nearrow\searrow\nearrow\)
  • \(\Delta<0\nearrow\)
• \(a<0:\)
  • \(\Delta>0\searrow\nearrow\searrow\)
  • \(\Delta<0\searrow\)

极值点：\(\Delta>0\) 时，函数有两个极值点 \(x_1,x_2\)，\(\Delta\le 0\) 时函数不存在极值点。

奇偶性：\(f(x)\) 是奇函数\(\Leftrightarrow b=d=0\)

对称性：关于 \((-\dfrac{b}{3a},f(-\dfrac{b}{3a}))\) 中心对称。

零点问题：\(f(x)=0\) 有一个实根 \(\Leftrightarrow \Delta\le0\) 或 \(\begin{cases}\Delta>0\\f(x_1)f(x_2)>0\end{cases}\)，

\(f(x)=0\) 有两个实根 \(\Leftrightarrow \Delta>0,f(x_1)f(x_2)=0\)

\(f(x)=0\) 有三个实根 \(\Leftrightarrow\Delta>0,f(x_1)f(x_2)<0\)

切线问题：略。

\(\mathtt{vi}\) 常用函数的性质

\(f(x)=x\ln x\) ：\(x\to0\) 时 \(f(x)\to 0\)，在 \((0,\infty)\) 上的唯一极小值点是 \(x_0=\dfrac1e\)

\(f(x)=xe^x\)：\(x\to-\infty\) 时 \(f(x)\to0\)，全局唯一极小值点是 \(x_0=-1\)

\(\tt iv\) \(\tt\large\bold{ 方法体系汇总 }\)

大题部分

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\(\mathtt{a}\) 确定导数正负号（极大极小值）的方法框架：

1. 因式分解
2. 观察（单调性、图像、式子分块\((?????????)\)）
3. 放缩（隔离直线、经典不等式）
4. 二次求导（注意：对数单身狗、指数找朋友、三角函数分组）
5. 隐零点

\(\mathtt{b}\) 双变量函数不等式处理方法

1. 作代数变形，分离变量，转化为证明函数单调性（适用于式子整齐且易于拆分时）
2. 改变式子结构，将两个变量化归为一个变量（特别注意齐次式的变比值消元法）
3. 主元大法好

对数均值不等式：

\[a<\sqrt{ab}<\dfrac{b-a}{\ln b-\ln a}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}<b\qquad (0<a<b) \]

\(\mathtt{c}\) 数列不等式

基本方法：比较通项

通常题目的考察形式：

• 连加性：证明数列前 \(n\) 项和与一个关于 \(n\) 的函数的关系。
• 连加性：证明数列前 \(n\) 项积与一个关于 \(n\) 的函数的关系。

注意！比较通项时，左边有多少项，右边就只能看成前多少项的和或积。

两边都有 \(n\) 时，连加型：把右边看成若干项的和（拆分，如\(\ln n=\ln(n-1)+\ln\dfrac{n}{n-1}\)）

连乘型：把右边看成若干项的积，比通项（或者取\(\ln\)变连加）

在综合题中，注意利用前一问的提示，在待证不等式中放缩通项

当右侧为常数时，不能用通法，只能参考前一问不等式进行放缩，也可能是左边放缩之后列项

\(\mathtt{d}\) 带/不带参数的函数不等式

不带参数：

1. 直接作差构造函数
2. 利用前一问的结论放缩（极值，切线，不等式）
3. 利用经典不等式放缩
4. 利用隔离直线放缩（水平、斜线）

带参数：

1. 贪心，主元法（放缩参数）
2. 分离参数
3. 求导硬证

\(\mathtt{e}\) 导数的零点不好怎么应对

1. 骗一个，猜根（不是很推荐）
2. 隐零点，设而不求整体代换使用（方向：将超越函数代换成普通函数）
3. 转化，转换成零点问题

\(\mathtt{f}\) 单变量恒成立问题方法

1. 端点效应：最优先考虑，在有端点时使用，将函数取端点时的情况带入导函数，作为参数分类的依据，而后分类求解。注意在有的情况下端点的导函数也是 0，我们可以考虑对导函数再使用一次端点效应。
2. 分离参数：相对通法，但式子过于复杂时慎用（有三角函数千万小心）
3. 作差构造函数：相对通法
4. 看成两个图像：在组合函数中能分离出一次函数或各块差异过大时使用
5. （同构）

含参零点问题方法基本同上，但没有端点效应

\(\mathtt{g}\) 多变量恒成立问题

1. 双变量整齐不等式：分离两变量，将问题化为\(f(a)<f(b)\)
2. 任意存在混合不等式型：\(\rm i\)石磊第三讲讲义的各种结论\(\rm ii\)主元法（注意讨论顺序的选择）
3. 几何意义型：上凸\(\Rightarrow f''(x)\le 0\)

\(\mathtt{h}\) 极值点偏移方法体系

题型：\(x_0\) 是 \(f(x)\) 的最值点，求证对于所有的 \(f(x_1)=f(x_2)\) 有 \(x_1 + x_2 > 2x_0\) 或 \(f'(\dfrac{x_1+x_2}{2})>0\) 或 \(x_1\cdot x_2<x^2_0\)（总之就是类似的对称式）

1. 构造对称：（前提是你必须能找到极值点）构 \(F(x)=f(x)-f(2x_0-x)\)，证明 \(F(x)\) 与 \(0\) 的关系，借助单调性求解。
2. 代数消元：当题目式子较为复杂时优先考虑，设 \(x_2=t\cdot x_1\)，将两根转为一根，代入 \(f(x_1) = f(x_2)\) 求解不等式。（也可以不设直接代入）
3. 对数均值不等式（并不是极其地重要）。

$\huge\underline{\tt\bold{注：以上仅针对导数大题，以下是小题部分 }}$

导数小题部分

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\(\tt vii\) 导数小题：隐形复合函数，零点问题，距离最值，三角问题

导数小题：注意双管齐下

题型：零点、恒成立、极值等

解析式：同构，距离、隐复合函数

隐形的复合函数

若解析式经过同乘同除、对数运算，可以找到两个带 \(x\) 的模块，则可通过处理（一般为同除某个带 \(x\) 的式子）将其变为一个模块，然后换元复合函数求解（一般和零点个数条件/问题一起出现）

\(\rm Eg.:\) \(\begin{aligned}\dfrac{(x^2-3)^2}{e^x}&=12e^{x-2}-m(x^2-3)\\\overset{同\div e^x}{\longrightarrow} \dfrac{(x^2-3)^2}{e^{2x}}&=12e^{-2}-\dfrac{m(x^2-3)}{e^x}\\\to [\dfrac{(x^2-3)^2}{e^x}]^2&=12e^{-2}-m\cdot\dfrac{x^2-3}{e^x}\\ \to (\text{Let }\dfrac{x^2-3}{e^x}=t) t^2&=12e^{-2}-mt \end{aligned}\)

隐形的零点问题：增函数保值区间，“和谐函数”，“友好点对”等：参考“函数”一章。

复合函数的特殊问题：不动点与稳定点

定义：若 \(f(x_0)=x_0\)，则 \(x_0\) 为不动点；若 \(f(f(x_0))=x_0\)，则 \(x_0\) 为稳定点。

主要结论：

1. 不动点就是 \(y=x\) 和 \(f(x)\) 的交点。
2. 不动点必为稳定点，反之不一定。
3. \(\star\) 若 \(f(x)\) 单调递增，则不动点和稳定点完全等价

距离的最值问题

标志形如 \((a-b)^2+(c-d)^2\) 的式子。

求法：

1. 直线到曲线：切点处最短
2. 圆到曲线：扩大圆的半径至相切，利用此时的公切线求解
3. 反函数之间的距离：即为到对称轴（一般为 \(y=x\)）距离之和
4. 任意曲线之间：主元法，但基本不考

三角形边长问题

若对 \(\forall a,v,c \in D\) ，\(f(a), f(b), f(c)\)均可作为一个三角形的边长，则 \(2f(x)_{\min}>f(x)_{\max} (x\in D)\)

\(\tt viii\) 双参数恒成立问题

题型：已知 \(ax+b\le f(x)\) 或 \(ax+b\ge f(x)\) 恒成立，求 \(\dfrac ba,\dfrac{m_1b+m_2}{m_1a+m_2},ma+nb\) 等式子的最值

主要方法：

1. 几何意义法（优先使用）：许多式子都有几何意义，例如：
   • \(\dfrac ba\) 直线和 \(x\) 轴交点横坐标的相反数
   • \(\dfrac{b-3}{a+2}(\dfrac{m_1b+m_2}{m_1a+m_2})\)：直线和直线 -2x+3 交点横坐标的相反数把式子化成 \((a+2)x+(b-3)\le f(x)\) 的形式
   • \(ma+nb\)：直线和 \(x=\dfrac mn\) 交点纵坐标的 \(n\) 倍
2. 代数法：主元大法好

注意：一些看似复杂的函数是可以通过预处理变为一次函数的：

\(Eg.: (e-a)e^x+x+b+1\le 0 \overset{e^x\to t}{\longrightarrow} (e-a)t+\ln t+b+1\le 0\)（\(-at + b + 1\) 的形式）

双极值点问题实际上就是导函数零点性质问题

\(\tt ix\) 复杂函数求导技巧

1. \(\star\) 公式法：\(\{[f(x)]^{g(x)}\}'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\ln f(x)+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}]\)

2. 变形法：如 \(x^x=e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}=e^t (t=x\ln x)\)

\(\to\) 将 \(f(x)\) 视作 \(y=e^t\) 和 \(y=x\ln x\) 的复合函数

\(\mathtt{x}\) 导数函数构造表——常见构造原函数类型梳理

原函数是函数的和差组合：

1. 对于 \(f'(x)>g'(x)\)，构 \(h(x)=f(x)-g(x)\)。
2. 对于 \(f'(x)>a\)，构 \(h(x)=f(x)-ax+b\)。
3. 对于 \(af'(x)+bg'(x)>0\)，构 \(h(x)=af(x)+bg(x)\)。

原函数是函数乘除组合：

1. 对于 \(f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)。
2. 对于 \(f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

原函数是函数与 \(x\) 的乘除组合：

1. 对于 \(x\cdot f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=xf(x)\)
2. 对于 \(x\cdot f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=x^nf(x)\)
3. 对于 \(x\cdot f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)
4. 对于 \(x\cdot f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{x^n}\)

原函数是函数与 \(e^x\) 的乘除组合：

1. 对于 \(f'(x)+f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot e^x\)
2. 对于 \(f'(x)+kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot e^{nx}\)
3. 对于 \(f'(x)-f(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}\)
4. 对于 \(f'(x)-kf(x)>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{e^{nx}}\)

原函数是函数与 \(\sin x(\cos x)\) 的乘除组合：

1. 对于 \(f(x)\sin x+f'(x)\cos x>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{f(x)}{\cos x}\)
2. 对于 \(f(x)\sin x-f'(x)\cos x>0(<0)\)，构 \(h(x)=-f(x)\cdot\cos x\)
3. 对于 \(f(x)\cos x+f'(x)\sin x>0(<0)\)，构 \(h(x)=f(x)\cdot\sin x\)
4. 对于 \(f(x)\cos x-f'(x)\sin x>0(<0)\)，构 \(h(x)=\dfrac{\sin x}{f(x)}\)

对于 \(\dfrac{f'(x)}{f(x)}>0(<0)\)，分类讨论：

1. 若 \(f(x)>0\)，构 \(h(x)=\ln f(x)\)
2. 若 \(f(x)<0\)，构 \(h(x)=\ln(-f(x))\)