后缀数组小结

后缀数组 ($\rm Suffix Arrray$)小结#

借用了一下别人的 $\rm blog$。

目录

• 后缀数组 ($\rm Suffix Arrray$)小结
  • 有关后缀数组 ($\rm SA$)
  • 有关最长公共前缀 $\rm LCP$
  • $\rm luoguP3809$

有关后缀数组 ($\rm SA$)#

介绍一下基本数组。

我们把原串 $\rm A$ 的所有后缀按字典序从小到大排个序，

则排名为 $\rm i$ 的字符串是以第 $\rm sa_i$ 个字符为起点的，且以第 $\rm i$ 个字符为起点的后缀的排名是 $\rm rk_i$。

所以有 $\rm sa_{rk_i}=i$。

得到 $\rm sa,rk$ 的方法是基数排序 + 倍增。

基数排序的思想就是按从低位到高位将数排序，可以做到 $\rm O(|A|)$。

那么求出 $\rm sa$ 的总时间复杂度是 $\rm O(|A|\log |A|)$ 的。

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解释一下代码：

假设原串是这样的：

m=122;
for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]=A[i]];
for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[i]]--]=i;

这里 $\rm cnt$ 是一个桶，用来记录每个字符出现的次数，$\rm m$ 表示桶中数最大值是多少 (因为只有大小写英文字母或数字所以只需要 $\rm 122$)。

这个代码也很好理解，就是对单个字符 (第一关键字)的排序。

排完序后 $\rm sa$ 数组长这样：

for(int k=1;k<=n;k*=2){

这表示倍增。

int t=0;
for(int i=n-k+1;i<=n;++i) y[++t]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)
	if(sa[i]>k) y[++t]=sa[i]-k;

这表示对第二关键字的排序。

for(int i=1;i<=m;++i) cnt[i]=0;
for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]];
for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;

这里就直接结合两关键字的排序搞出了一个总排序。

$\rm x$ 里面存了上次关键字的排序，在本次排序中即是第一关键字的排序，$\rm x$ 的值排序等于第一关键字排序，这里的计数排序做的是对的。那么第二关键字呢？

前面对第二关键字进行了排序，在这里 $\rm x_{y_i}$ 就是根据第二关键字的顺序重新改变了第一关键字的顺序，也就是说在本次计数排序中，出现先后次序排序等于第二关键字大小排序。

换句话说，我们先单独对第二关键字排序，根据这个顺序改变第一关键字的顺序，由于在计数排序时首先按照第一关键字的值排序，而第一关键字的值没有改变所以首先还是根据第一关键字排序，改变的是第一关键字相同的时候，出现在前面的第二关键字排在前面。

然后 $\rm sa$ 长这样：

swap(x,y);
x[sa[1]]=1,t=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
	x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?t:++t;
if(t==n) break;
m=t;

这里我们就重新搞好了数组，可以继续倍增搞。

完整过程图片如下：

完整代码如下：

inline void get_sa(){
	m=122;
	for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]=A[i]];
	for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
	for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[i]]--]=i;
	for(int k=1;k<=n;k*=2){
		int t=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;++i) y[++t]=i;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			if(sa[i]>k)
				y[++t]=sa[i]-k;
		for(int i=1;i<=m;++i) cnt[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]];
		for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
		for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
		swap(x,y);
		x[sa[1]]=1,t=1;
		for(int i=2;i<=n;++i)
			x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?t:++t;
		if(t==n) break;
		m=t;
	}
}

有关最长公共前缀 $\rm LCP$#

$\rm LCP(i,j)$ 表示后缀 $\rm sa_i$ 与后缀 $\rm sa_j$ 的最长公共前缀。

众所周知，后缀数组一点用都没有，用的都是后面有关 $\rm LCP$ 的部分。

关于 $\rm LCP$ 的性质，定理：

• $\rm LCP(i,j)=LCP(j,i)$
• $\rm LCP(i,i)=|A|-sa_i+1$

这两条性质可以把所有的 $\rm LCP(i,j)$ 都转化为 $i<j$ 的情况来求解。

• $\rm \forall\ i\le j\le k,LCP(i,k)=\min(LCP(i,j),LCP(j,k))$
• $\rm LCP(i,k)=\min_{j=i+1}^k\{LCP(j,j-1)\}$

定义 $\rm height_i$ 表示 $\rm LCP(i,i-1)$，有 $\rm height_1=0$

那么由上述定理可得：

$$\rm LCP(i,k)=\min_{j=i+1}^k\{height_j\}$$

这样我们就可以用一个 $\rm ST$ 表来 $\rm O(|A|\log A)$ 预处理，$\rm O(1)$ 求 $\rm LCP$ 了

定义 $\rm h_i=height_{rk_i}$，同样的有 $\rm h_{sa_i}=height_i$。

那么还有一条定理：

• $h_i\ge h_{i-1}-1$，即 $\rm height_{rk_i}\ge height_{rk_{i-1}}-1$。

上述有关定理可以去这里或这里看看怎么证明的

我们也就可以写出求 $\rm height$ 的代码 (这里用 $\rm ht$ 表示 $\rm height$)：

inline void get_ht(){
	int t=0;
    ht[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(rk[i]==1)
			continue;
		if(t) --t;//h[i]>=h[i-1]-1
		int j=sa[rk[i]-1];
		while(j+t<=n&&i+t<=n&&A[i+t]==A[j+t])//上一次计算结果为t,那就从t开始检查有几个字符相同
			++t;
		ht[rk[i]]=t;
	}
}

总代码：

int n,m;
int sa[N<<1],rk[N<<1],ht[N<<1];
char A[N];
struct SA{
	int x[N<<1],y[N<<1],cnt[N<<1];
	inline void get_sa(){//后缀数组
		m=122;
		for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]=A[i]];
		for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
		for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[i]]--]=i;
		for(int k=1;k<=n;k*=2){
			int t=0;
			for(int i=n-k+1;i<=n;++i) y[++t]=i;
			for(int i=1;i<=n;++i)
				if(sa[i]>k)
					y[++t]=sa[i]-k;
			for(int i=1;i<=m;++i) cnt[i]=0;
			for(int i=1;i<=n;++i) ++cnt[x[i]];
			for(int i=2;i<=m;++i) cnt[i]+=cnt[i-1];
			for(int i=n;i;--i) sa[cnt[x[y[i]]]--]=y[i],y[i]=0;
			swap(x,y);
			x[sa[1]]=1,t=1;
			for(int i=2;i<=n;++i)
				x[sa[i]]=(y[sa[i]]==y[sa[i-1]]&&y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k])?t:++t;
			if(t==n) break;
			m=t;
		}
	}
	inline void get_ht(){//求 height 数组
		int t=0;
		for(int i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(rk[i]==1){
				continue;
			}
			if(t) --t;
			int j=sa[rk[i]-1];
			while(j+t<=n&&i+t<=n&&A[i+t]==A[j+t])
				++t;
			ht[rk[i]]=t;
		}
	}
}t1;

$\rm luoguP3809$#

板子题，甚至不需要求 $\rm height$

代码放过了