P7115 [NOIP2020] 移球游戏 思路简记

好题

先手玩一下 $n=2$ (只有颜色 $0/1$) 的情况：

我们假设柱子 $1$ 上有 $s$ 个 $1$，那就先把柱子 $2$ 顶端的 $s$ 个球移到 $3$，变成这样：

然后把柱子 $1$ 的所有 $1$ 移到柱子 $2$ 上，所有 $0$ 移到柱子 3上：

然后再把这些移走的 $1/0$ 按顺序移回到柱子 $1$，并把柱子 $2$ 剩下的 $m-s$ 个数移到柱子 $3$ 上：

然后把柱子 $1$ 上的 $m-s$ 个 $0$ 移到柱子 $2$ 上：

最后再将柱子 $3$ 所有的 $1$ 移到柱子 $1$ 上，所有的 $0$ 移到柱子 $2$ 上，那么就移好了：

总操作次数为 $5m-s$

考虑能不能把多种颜色的情况转换成很多个两种颜色的问题

可以想到我们设一个值 $x$ 使 $\le x$ 的数全部变为 $1$，$>x$ 的数全部变为 $0$，然后将 $[1,x]$ 和 $[x+1,n]$ 分治求解。

很显然对于每个区间 $[l,r]$ ，将 $x$ 设为 $\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$ 时操作次数是最优的。

每次 $solve(l,r)$ ，我们将 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 中没有复原的柱子两两匹配，我们令两根柱子分别为 $i$ 和 $j$，这样，$i$ 和 $j$ 中如果 $\le mid$ 的个数大于 $>mid$ 的个数，那么将 $i$ 还原，否则将 $j$ 还原，然后继续递归下去 $solve(l,mid)$ 和 $solve(mid+1,r)$ 就行了。

计算一下总操作次数：

$$T(n)=2\cdot T(n/2)+5\cdot n\cdot m$$

那么

$$T(n)=5\cdot n\cdot m\cdot \log n$$

计算一下，这是 $ok$ 的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=55;
const int M=405;

#define tp(x) a[x][top[x]]

int n,m,tot;
int a[N][M],top[N];
int ans[820005][2];

inline void move(int x,int y){
	ans[++tot][0]=x,ans[tot][1]=y;
	a[y][++top[y]]=a[x][top[x]--];
}

inline void solve(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	bitset <N> vis;
	for(int i=l;i<=mid;++i)
		for(int j=mid+1;j<=r;++j){
			if(vis[i]||vis[j]) continue;
			int cnt=0;
			for(int k=1;k<=m;++k)
				cnt+=(a[i][k]<=mid)+(a[j][k]<=mid);
			if(cnt>=m){
				cnt=0;
				for(int k=1;k<=m;++k) cnt+=(a[i][k]<=mid);
				for(int k=1;k<=cnt;++k) move(j,n+1);
				while(top[i]) move(i,tp(i)<=mid?j:n+1);
				for(int k=1;k<=cnt;++k) move(j,i);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(n+1,i);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(j,n+1);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(i,j);
				while(top[n+1]) move(n+1,(top[i]!=m&&tp(n+1)<=mid)?i:j);
				vis[i]=1;
			}
			else{
				cnt=0;
				for(int k=1;k<=m;++k) cnt+=(a[j][k]>mid);
				for(int k=1;k<=cnt;++k) move(i,n+1);
				while(top[j]) move(j,tp(j)>mid?i:n+1);
				for(int k=1;k<=cnt;++k) move(i,j);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(n+1,j);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(i,n+1);
				for(int k=1;k<=m-cnt;++k) move(j,i);
				while(top[n+1]) move(n+1,(top[j]!=m&&tp(n+1)>mid)?j:i);
				vis[j]=1;
			}
		}
	solve(l,mid),solve(mid+1,r);
}

signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i) for(int j=1;j<=m;++j)
		cin>>a[i][++top[i]];
	solve(1,n);
	cout<<tot<<endl;
	for(int i=1;i<=tot;++i)
		cout<<ans[i][0]<<" "<<ans[i][1]<<endl;
}