P1850 [NOIP2016 提高组] 换教室 思路简记

我们令 $f_{i,j,0/1}$ 表示前 $i$ 个时间点，共申请了 $j$ 次，第 $i$ 个时间点是否 ($1/0$) 进行了申请，$g_{i,j}$ 表示 $i\to j$ 的最短路，$p_i$ 表示原题中的 $k_i$

那么我们需要分情况讨论：

一、当前教室没有申请

如果前一教室有申请：$f[i][j][0]=min(f[i−1][j][1]$

(1) 成功：$+p[i−1]\cdots dis[d[i−1]][c[i]]$

(2) 失败：$+(1−p[i−1])\cdots dis[c[i−1]][c[i]]$

如果前一教室没有申请：$f[i−1][j][0]$，一定是前后均失败：$+dis[c[i−1]][c[i]])$

二、当前教室有申请

如果前一教室有申请：$f[i][j][1]=min(f[i−1][j−1][1]$

(1) 前后均成功：$+p[i−1]\cdots p[i]\cdots dis[d[i−1]][d[i]]$

(2) 前成功、后失败：$+p[i−1]\cdots (1−p[i])\cdots dis[d[i−1]][c[i]]$

(3) 前失败、后成功：$+(1−p[i−1])\cdots p[i]\cdots dis[c[i−1]][d[i]]$

(4) 前后均失败：$+(1−p[i−1])\cdots (1−p[i])\cdots dis[c[i−1]][c[i]]$
如果前一教室没有申请：$f[i−1][j−1][0]$，

(1) 后成功：$+p[i]\cdots dis[c[i−1]][d[i]]$

(2) 后失败：$+(1−p[i])\cdots dis[c[i−1]][c[i]])$

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define cmin(x,y) y<x?x=y:x=x;

const int N=2e3+5;
const int inf=1e9;

int n,m,V,E;
int c[N],d[N];
double p[N],g[N][N],f[N][N][2];

signed main(){
	cin>>n>>m>>V>>E;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>d[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=V;++i)
		for(int j=1;j<=V;++j)
			g[i][j]=(i!=j)*inf;
	while(E--){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		g[x][y]=g[y][x]=min(g[x][y],1.0*z);
	}
	for(int k=1;k<=V;++k)
		for(int i=1;i<=V;++i)
			for(int j=1;j<=V;++j)
				if(i!=j&&j!=k&&i!=k)
					g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=m;++j)
			f[i][j][0]=f[i][j][1]=inf;
	f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int j=0;j<=min(m,i);++j){
			cmin(f[i][j][0],f[i-1][j][0]+g[c[i-1]][c[i]]);
            cmin(f[i][j][0],f[i-1][j][1]+g[d[i-1]][c[i]]*p[i-1]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1]));
			if(j){
				cmin(f[i][j][1],f[i-1][j-1][0]+g[c[i-1]][d[i]]*p[i]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i]));
				cmin(f[i][j][1],f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1])*(1-p[i])+g[c[i-1]][d[i]]*
                (1-p[i-1])*p[i]+g[d[i-1]][c[i]]*(1-p[i])*p[i-1]+g[d[i-1]][d[i]]*p[i-1]*p[i]);
			}
		}
	}
	double ans=inf;
	for(int i=0;i<=m;++i)
		ans=min(ans,min(f[n][i][0],f[n][i][1]));
	printf("%.2lf\n",ans);
}