BSGS与exBSGS

目录

• 大步小步(BSGS)
  • 模板题
  • 求法
  • P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS
• exBSGS
  • P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS

大步小步(BSGS)#

模板题#

给定 $a,b,p$ 求最小 $x$ 满足 $a^x \equiv b \pmod{p}$ 其中 $a,p$ 互质

求法#

假定 $m=\left \lceil \sqrt p \right \rceil$，$x=i\cdot m-j$ 其中 $i,j\leq m$

原式可化为 $a^{i\cdot m-j} \equiv b \pmod{p}$

即 $a^{i\cdot m} \equiv b\cdot a^j \pmod{p}$

由于 $a,p$ 互质，显然 $a^{1\sim p-1}\bmod p$ 互不相同

我们枚举 $j$，将 $b\cdot a^j\bmod p$ 存入 $\textstyle{hash}$ 表

然后枚举 $i$，从 $\textstyle{hash}$ 表里找出第一个 $j$ 满足 $a^{i\cdot m} \equiv b\cdot a^j \pmod{p}$

此时 $x=i\cdot m-j$ 即为所求

P3846 [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int a,b,p;
map <int,int> mp;
inline int qpow(int x,int idx){
	if(!idx) return 1;
	int t=qpow(x,idx>>1);
	if(idx&1) return t*t%p*x%p;
	return t*t%p;
}
inline int BSGS(){
	b%=p;
	int t=sqrt(p)+1;
	for(int i=0;i<t;++i)
		mp[b*qpow(a,i)%p]=i;
	a=qpow(a,t);
	if(!a) return !b?1:-1;
	for(int i=1;i<=t;++i){
		int v=qpow(a,i);
		if(mp.find(v)==mp.end()) continue;
		int j=mp[v];
		if(i*t-j>=0) return i*t-j;
	}
	return -1;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b);
	int ans=BSGS();
	if(ans==-1) puts("no solution");
	else printf("%lld\n",ans);
}

exBSGS#

P4195 【模板】扩展 BSGS/exBSGS#

回忆$BSGS$算法，给定整数$a,b,p$，其中$a,p$互质，求方程$a^x\equiv b\ (mod\ p)$的最小整数解$x$

做法：设$x=i\times m-j,m=\left \lceil \sqrt p \right \rceil,1\le j\le m,1\le i\le m$

方程变为$a^{im-j}\equiv b\ (mod\ p)$

化一下$(a^m)^i\equiv b\times a^j\ (mod\ p)$

这时只要把$(a^m)^i$和$b\times a^j$预处理出来丢到哈希表里就做完了

而现在的$a,p$不互质了，所以我们要考虑其他的方法，也就是$\text{Ex\_BSGS}$

那么我们设$g=gcd(a,p)$

根据模的分配率，方程变为$\frac{a^x}{g}\equiv \frac{b}{g}\ (mod\ \frac{p}{g})$

无解情况就是$g\nmid b$并且$b\ne 1$

我们来证明一下

设$a'=\frac{a}{g},p'=\frac{p}{g}$，那么$a=a'g,p=p'g$

代入到原方程中变为$(a'g)^x\equiv b\ (mod\ p'g)$

$$a'^xg^x+yp'g=b$$

$$g(a'^xg^{x-1}+yp')=b$$

这样子$g$就是$b$的因子，而只有在$b=1$时，$a^0=1$，其余情况若$g\nmid b$，方程无解

证毕

那么我们再把上面的式子化一下变为$a^{x-1}\times\frac{a}{g}\equiv \frac{b}{g}\ (mod\ \frac{p}{g})$

而$\frac{p}{g}$一定是比$p$小的，所以可以一直约到$a,\frac{p}{g}$互质

设$na=\prod_{i=1}^k\frac{a}{g_i}$

原式就可以写成$a^{x-k}\equiv \frac{b}{\prod_{i=1}^k g\times na}(mod\ \frac{p}{\prod_{i=1}^kg})$ ，$k$是做了几次化简

这样子就可以用$BSGS$求解啦

有一点需要注意，因为是在模意义下运算，所以除以$na$时要乘其逆元

因为最后一直化到了$\frac{a}{\prod_{i=1}^kg}$和$\frac{p}{\prod_{i=1}^kg}$互质，所以$na$和$\frac{p}{\prod_{i=1}^kg}$看起来也很互质

就可以用扩欧求逆元了