公平组合游戏

目录

• 公平组合游戏
  • $Nim$ 游戏
    • 概述与解法
    • $Nim$ 游戏及解法
  • 有向图游戏与 $SG$ 函数
    • 概述
  • 习题
    • • P2197 【模板】nim 游戏
      • P1247 取火柴游戏

公平组合游戏

$Nim$ 游戏#

参考

概述与解法#

$Nim$ 游戏是 $ICG(Impartial\ Combinatorial\ Games)$

满足下列条件的游戏才算 $ICG$ ：

1. 两个人
2. 两个人交替对游戏进行移动，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动
3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素
4. 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（无法移动），则这名选手 $lose$ 。(根据这个定义，很多日常的游戏并非 $ICG$)

满足上述条件的游戏才可以使用之后叙述的 $Nim$ 游戏的解法来解决

$Nim$ 游戏及解法#

通常的$Nim$ 游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判$lose$（因为他此刻没有任何合法的移动）。

定义 $P-position$ 和 $N-position$ ，其中P代表 $Previous$，$N$ 代表 $Next$

直观的说，上一次 $move$ 的人有必胜策略的局面是 $P-position$，也就是“后手可保证必胜”或者“先手必败”，现在轮到 $move$ 的人有必胜策略的局面是 $N-position$，也就是“先手可保证必胜”

更严谨的定义是：1.无法进行任何移动的局面（也就是 $terminal\ position$）是$P-position$；2.可以移动到$P-position$ 的局面是 $N-position$；3.所有移动都导致$N-position$的局面是$P-position$。

$Nim$ 游戏的结论：若是对于一个游戏局面 $a_{1\sim n}$，它是 $P-postion$ 当且仅当 $a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n=0$

这个证明也显然，若是满足 $a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n=0$ ，则对于 $a_{1\sim n}$ 其所有二进制位上的 $1$ 有偶数个

也就是如果之后先手取一个那么后手就取对应的一个，最后总是先手的取不到

这样先手就输了

有向图游戏与 $SG$ 函数#

参考

概述#

大部分公平组合游戏都可以转换为有向图游戏，即：

• 在一个有向无环图中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流沿着有向边推动棋子，不能走的玩家判 $lose$。

我们定义 $mex(S)$ 函数：

$$mex(S)=\min\{x\}(x\in N,x\notin S)$$

如：$mex\{1,2,3\}=0,mex\{0,1,3\}=2$

对于状态 $x$ 和它所有的 $k$ 个后继状态 $y_{1\sim k}$，定义其 $SG$ 函数：

$$SG(x)=mex\{SG(y_1),SG(y_2)\cdots SG(y_k)\}$$

而对于有 $n$ 个有向图组成的组合游戏，设其起点分别为 $s_{1\sim n}$ ，则有定理：

当且仅当 $SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus \cdots \oplus SG(s_n)\neq 0$ 时先手必胜，同时，这是这一个组合游戏的游戏状态的 $SG$ 值。

这一定理被称作 $Sprague-Grundy(SG)$ 定理

可以把 $SG$ 类比 $Nim$ 来理解

而 $Nim$ 游戏可以转化为一个有向图游戏用 $SG$ 定理求解

习题#

P2197 【模板】nim 游戏#

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define re register

inline int read(){
	re int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}

signed main(){
	re int T=read();
	while(T--){
		re int n=read(),ans=0;
		for(re int i=1;i<=n;++i) ans^=read();
		puts(ans?"Yes":"No");
	}
}

P1247 取火柴游戏#

思路：

这题多了一个输出方案

按照 $Nim$ 游戏的解法，我们先求出 $chk=a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n$

若 $chk=0$，即 $P-position$，则先手必输

否则，我们考虑让电脑在我们取完第一次之后变为 $P-positon$

也就是让某一个 $a_i$ 变为 $chk\oplus a_i$，这样就可以达到目的

判断一下 $chk\oplus a_i$ 是否大于等于 $a_i$ 就行 (不能不取，也不能拿负数个)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=5e5+5;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}

int n;
int a[N];

signed main(){
	n=read();
	int chk=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=read();
		chk^=a[i];
	}
	if(!chk){
		puts("lose");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if((chk^a[i])>=a[i]) continue;
		printf("%d %d\n",a[i]-(chk^a[i]),i);
		a[i]=chk^a[i];
		for(int j=1;j<=n;++j) printf("%d ",a[j]);
		break;
	}
}