网络流练习

目录

• 网络流练习
  • 最大流
    • P1231 教辅的组成
    • P2472 蜥蜴
    • P2766 最长不下降子序列问题
  • 最小割
    • P4313 文理分科
    • P2762 太空飞行计划问题
    • P3227 切糕
    • P2805 植物大战僵尸
  • 费用流
    • P1251 餐巾计划问题
    • P2153 晨跑
    • P2469 星际竞速
    • P4843 清理雪道

网络流练习#

若是一个点经过的次数有限制，则需要拆点

拆点的妙用博大精深

注：下文中 $s$ 指超级源点，$t$ 指超级汇点

这里是最大流dinic的代码和费用流EK的代码

最大流#

P1231 教辅的组成#

题意：

现在有 $a,b,c$ 三种东西，分别有 $n1,n2,n3$ 个

告诉你 $m1$ 组 $a,b$ 的对应关系，$m2$ 组 $a,c$ 的对应关系

只有 $a_i$ 同时对应 $b_j$ 和 $c_k$，$a_i$ 才能和 $b_j$ 与 $c_k$ 配成一套

问在不重复的条件下最多可以配成几套

思路：

很基础的最大流

由于 $a$ 对应 $b$ 和 $c$ ，考虑建图时把所有 $a$ 放中间 $b,c$ 放两边

从 $s$ 向所有 $b$ 连一条容量为 $1$ 的边，从所有 $c$ 向 $t$ 连一条容量为 $1$ 的边

从所有 $b$ 向所有 $a$ 连一条容量为 $1$ 的边，从所有 $a$ 向所有 $c$ 连一条容量为 $1$ 的边

跑最大流就行

但是我 $Wrong\ Answer$ 了 $QAQ$

这是因为 $a$ 在中间，若是像下面一样会算两次：

so，我们把中间的所有 $a$ 拆成两个点，加一条容量为 $1$ 的边

最大流即为答案

P2472 蜥蜴#

题意：

在一个 $r$ 行 $c$ 列的网格地图中有一些高度不同的石柱，第 $i$ 行 $j$ 列的石柱高度为 $h_{i,j}$。

一些石柱上站着一些蜥蜴，你的任务是让尽量多的蜥蜴逃到边界外。

每行每列中相邻石柱的距离为 $1$，蜥蜴的跳跃距离是 $d$，即蜥蜴可以跳到平面距离不超过 $d$ 的任何一个石柱上。

石柱都不稳定，每次当蜥蜴跳跃时，所离开的石柱高度减 $1$（如果仍然落在地图内部，则到达的石柱高度不变）。

如果该石柱原来高度为 $1$，则蜥蜴离开后消失，以后其他蜥蜴不能落脚。

任何时刻不能有两只蜥蜴在同一个石柱上。

思路：

数据范围很小，考虑网络流

因为每个石柱都有经过次数限制，所以要位置 $i$ 拆成点 $i$ 和 $i'$ ，且 $i$ 和 $i'$ 之间连一条容量为 $h_i$ 的边

用 $i$ 表示跳到了石柱 $i$，$i'$ 表示从 $i$ 点开始跳向别的石柱

若是能从一个石柱 $i$ 跳到另一个石柱 $j$ ，那么就从 $i'$ 向 $j$ 连一条容量为 $inf$ 的边

若是能从一个石柱 $i$ 跳出边界，那么就从 $i'$ 向 $t$ 连一条容量为 $inf$ 的边

我们可以假设最开始每只蜥蜴都不在石柱上，而是在源点 $s$

然后从 $s$ 向每个蜥蜴初始位置 $i$ 连一条容量为 $1$ 的边，表示一只蜥蜴

这样就可以巧妙地解决这个问题

最大流 $maxflow$ 表示的是最多有多少只蜥蜴能跳走

记录蜥蜴总数 $sum$，跑一遍网络流，最终结果为 $sum-maxflow$

P2766 最长不下降子序列问题#

题意：

给你一个正整数序列 $a_{1\sim n}$，求：

1. 最长不下降子序列的长度 $S$
2. 计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 $S$ 的不下降子序列。(每个元素只允许使用一次)
3. 计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为 $S$ 的不下降子序列。($a_{2\sim n-1}$ 只允许使用一次，$a_1,a_n$ 可以使用无数次)

思路：

第一问是经典问题，我们可以得到递推式：

$$f_i=\max_{j=1,a_j\leq a_i}^{i-1} \left\{f_j\right\}+1;$$

第二问考虑网络流

首先每个元素被限制了只能使用一次，因此拆点，把 $i$ 拆成 $i$ 和 $i'$

若 $f_i=1$ 则从 $s$ 向 $i$ 连一条容量为 $1$ 的边，表示 $i$ 可以作为不下降子序列的起点

若 $f_i=S$ 则从 $i'$ 向 $t$ 连一条容量为 $1$ 的边，表示 $i$ 可以作为不下降子序列的终点

若 $a_j\leq a_i,j<i$ 且 $f_i=f_j+1$，则从 $j$ 向 $i$ 连一条容量为 $1$ 的边，表示可以拼出长度 $+1$ 的不下降子序列

显然，这样建图后跑一边最大流即可

对于第三问，我们只需要在第二问的基础上把 $s\rightarrow 1$，$n'\rightarrow t$，$1\rightarrow 1'$，$n\rightarrow n'$ 的容量均改成 $inf$ 即可

最小割#

P4313 文理分科#

题意：

有 $n\times m$ 个人，每个人要么选文科，要么选理科

第 $i$ 行 $j$ 列的人选文科可以获得快乐值 $art_{i,j}$，选理科可以获得快乐值 $sci_{i,j}$

若是一个人选的文科且上下左右的人都是文科，他可以获得额外快乐值 $sameart_{i,j}$

若是一个人选的理科且上下左右的人都是理科，他可以获得额外快乐值 $samesci_{i,j}$

求这些人的快乐值总和最大是多少

思路：

非 $A$ 即 $B$ ，典型的最小割

先不考虑额外快乐值

在集合 $S$ 中表示选文科，在集合 $T$ 中表示选理科

从 $s$ 向点 $(i,j)$ 连容量为 $art_{i,j}$ 的边，从点 $(i,j)$ 向 $t$ 连容量为 $sci_{i,j}$ 的边

这样求最小割，割掉最少不要的快乐值，剩下的就是答案

考虑额外快乐值

我们新建一个节点 $x$ 对应点 $(i,j)$ 的文科额外快乐值，从 $s$ 向点 $x$ 连容量为 $sameart_{i,j}$ 的边

考虑上下左右及自己都必须选文科，因此从 $x$ 向 $(i,j)$，$(i-1,j)$，$(i+1,j)$，$(i,j-1)$，$(i,j+1)$ 都连一条容量为 $inf$ 的边

显然这五条边是不会被割掉的

因此若是这五个点中有两个点不在一个集合内，就必须要断掉它们之间的联系，因为 $x$ 把它们连在一起了

此时不能割容量为 $inf$ 的边，就只能割容量为 $sameart_{i,j}$ 的边

理科的同理，我们新建一个节点 $y$ 对应点 $(i,j)$ 的理科额外快乐值，从 $y$ 向点 $t$ 连容量为 $samesci_{i,j}$ 的边

从 $(i,j)$，$(i-1,j)$，$(i+1,j)$，$(i,j-1)$，$(i,j+1)$ 向 $x$ 都连一条容量为 $inf$ 的边

根据最小割=最大流

跑一边 $dinic$ 得到最大流 $maxflow$，最终的答案是 $all\_happiness-maxflow$

P2762 太空飞行计划问题#

题意：

给定一张图，有左侧的点和右侧的点，左侧的点点权为正（对应试验），右侧的点点权为负（对应器材），如果选择了左侧的某个点就必须要选右边的一部分点。要求最大化点权和。

思路：

若是左侧的点需要右侧的点，则连一条从左侧的点向右侧的点的有向边，这样问题就转换为：

给定一个有向无环图，点有点权，选择一个子图，满足子图上如果选择了一个点就必须选择它后继的所有点。最大化点权和。

这是一个经典最小割问题，叫做最大权闭合子图问题

建图操作如下：

从 $s$ 向所有正权值的点连一条权值为点权的边，从所有负权值的店向 $t$ 连一条权值为点权绝对值的边

保留原图中所有的边且容量为正无穷

则原图中最大点权和为原图中正点权权值和减最小割

$S$ 包含所有要的点，$T$ 包含所有不要的点

最小割割去的边必然与 $s$ 或 $t$ 相邻，因为其他的边容量均为 $inf$

当我们选择要一个正权值点的时候，必然会将其放入集合 $S$，这样就会割掉与其相连的负权值点与 $t$ 的连边，这时候割去了需要减去的值

当我们选择不要一个正权值点的时候，必然会将其放入集合 $T$，这样就会割掉其与 $s$ 相连的边，这时候割去了需要减去的值

这样求得的割就是原图正点权和需要减去的部分，最小割就能减的最少，这样点权和最大

P3227 切糕#

题意：

你在切一个蛋糕，蛋糕每个点有一个非负不和谐值 $v$，切蛋糕的规则如下：

首先将每一个竖列的坐标用 $(x,y)$ 表示，数列上的点就是 $(x,y,z)$

每次在每一数列选择一个点

对于数列 $(x,y)$ 我们选的点高度记作 $f(x,y)$，那选的点坐标即为 $(x,y,f(x,y))$

定义：竖列 $(x,y)$ 的相邻竖列坐标可表示为 $(x-1,y)$ $(x+1,y)$ $(x,y-1)$ $(x,y+1)$

选点坐标时有一个限制：每一个竖列选的坐标 $(x,y)$ 与其相邻的竖列 $(a,b)$ 坐标高度差不超过 $D$

即 $|f(x,y)-f(a,b)|\le D$

现在求 $\min\sum v[x][y][f(x,y)]$

思路：

先去掉高度差不超过 $D$ 的条件，那么这就变成了一个求最小割的题目

我们直接把每一个竖列的所有点依次相连，容量为 $v$ ，且从 $s$ 连一条到这列起点，容量为 $inf$ 的边，从这列终点连一条到 $t$，容量为 $inf$ 的边

但是还有高度差不超过 $D$ 的条件，所以考虑让建好的网络中即使割掉高度差超过 $D$ 的地方也无影响

于是我们就只需要从 $(i,j,k)$ 向 $(i\pm 1,j,k-D)$ 和 $i,j\pm 1,k-D$ 连一条容量为 $inf$ 的边

会发现这样的话即使割掉所有不合法的边仍能从 $s$ 走到 $t$

画图模拟一下就可以理解了

最后的结果就是最小割

P2805 植物大战僵尸#

题意：

给定一个有向图，点有点权，选择一个子图，满足子图上如果选择了一个点就必须选择它之前的所有点。最大化点权和。

这里的之前所有点指从这个点出发，沿着反向边能跑到的所有点

思路：

这个题无非就是这个的变式，是一个最大权闭合子图问题

但是这道题需要除去环，所以用拓扑排序

若是拓扑排序的队列为空但某个点入度仍大于 $0$，则此点在一个环内，应该除去

而且这道题边是反的，因此跑完拓扑排序后把边反过来，跑一边网络流就行

具体做法不再叙述

费用流#

P1251 餐巾计划问题#

题意：

一个餐厅在相继的 $N$ 天里,每天需用的餐巾数不尽相同。

假设第 $i$ 天需要 $r_i$块餐巾( $i=1\sim N$)。餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为 $p$ 分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需 $m$ 天,其费用为 $f$ 分，或者送到慢洗部，洗一块需 $n$ 天($n>m$)，其费用为 $s$ 分($s<f$)。

每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。

试设计一个算法为餐厅合理地安排好 $N$ 天中餐巾使用计划,使总的花费最小。

思路：

每一天要处理两件事：准备干净餐巾以及处理脏餐巾

因此考虑把每个点拆成两个：早上和晚上，早上准备干净餐巾，晚上处理脏餐巾

建立一个源点 $s$ 和一个汇点 $t$

• 从 $s$ 向第 $i$ 天早上连一条容量为 $inf$，费用为 $p$ 的边，表示每一天可以购买任意多餐巾
• 从第 $i$ 天早上向汇点连一条容量为 $r_i$，费用为 $0$ 的边，表示第 $i$ 天早上需要准备 $r_i$ 的餐巾
• 从源点向第 $i$ 天晚上连一条容量为 $r_i$，费用为 $0$ 的边，表示第 $i$ 天需要处理的脏餐巾数量
• 从第 $i$ 天晚上向第 $i+1$ 天晚上连一条容量为 $inf$，费用为 $0$ 的边，表示第 $i$ 天的脏餐巾留到第 $i+1$ 天
• 从第 $i$ 天晚上向第 $i+m$ 天早上连一条容量为 $inf$，费用为 $f$ 的边，表示快洗第 $i$ 天的脏餐巾
• 从第 $i$ 天晚上向第 $i+n$ 天早上连一条容量为 $inf$，费用为 $s$ 的边，表示慢洗第 $i$ 天的脏餐巾

这样就做完了

P2153 晨跑#

题意：

有 $n$ 个点，$m$ 条边，起点为 $1$，终点为 $n$，每个边都有边权

求 $1\sim n$ 最长有几条的路线(满足每次经过的点都不相同)，且在这个情况下最少需要跑的路程是多少

思路：

这不是最小费用最大流吗？

把原路线容量设为 $1$ ，费用设为边权就可以求解

但是要满足每次经过的点都不相同

考虑拆点

把点 $i$ 拆成 $i$ 和 $i+n$，从 $i$ 向 $i+n$ 连一条容量为 $1$ 费用为 $0$ 的边

这样就行了

答案分别是最大流和最小费用

P2469 星际竞速#

题意：

给一张 DAG，边有边权

你最开始不在图内

你可以耗费 $a_i$ 的代价直接到达 $i$ 点，也可以消耗 $edge_{x\rightarrow y}$ 的代价从 $x$ 走到 $y$

求使所有点都被走到的最小代价

思路：

我们可以换一种理解方式：

每次都不在图内，然后瞬移到某一点 $x$ ，然后再走

考虑费用流，让你在最大流的时候把每个点都遍历一遍，然后同时求出最小代价

从 $s$ 点开始表示出发，走到 $t$ 点表示结束

因此我们可以把所有边容量设为 $1$，这样无论如何最大流的结果都不会变

若是你想在 $x$ 点结束，你必定是位移到 $x$ 或从某处走到 $x$

考虑拆点

我们把 $i$ 点 拆成 $i$ 和 $i'$ ，然后从 $s$ 向 $i'$ 连费用为 $a_i$ 的边，$i'$ 向 $t$ 连费用为 $0$ 的边，$s$ 向 $i$ 连费用为 $0$ 的边

若存在边 $edge(i,j)$ $i<j$，则从 $i$ 向 $j'$ 连费用为 $edge(i,j)$ 的边

这样的话对于每一个点 $i$ 对应的 $i'$ 都会走向 $t$ ，并且必定会由 $s$ 或前面的点走到，可以更新最小答案

所以这种做法正确，最小费用即为答案

P4843 清理雪道#

题意：

从空中鸟瞰，滑雪场可以看作一个有向无环图，每条弧代表一个斜坡（即雪道），弧的方向代表斜坡下降的方向。

你们拥有一架直升飞机，每次飞行可以从总部带一个人降落到滑雪场的某个地点，然后再飞回总部。从降落的地点出发，这个人可以顺着斜坡向下滑行，并清理他所经过的雪道。

由于每次飞行的耗费是固定的，你想知道如何用最少的飞行次数才能完成清理雪道的任务。

思路：

我们把图中的每一条边 $edge_i$ 拆成两条边：一条流量为 $1$，费用为 $1$；一条流量为 $inf$，费用为 $0$。

然后源点向每个入度为 $0$ 的点（也就是链覆盖的起点）连边，流量为 $inf$，费用为 $0$

每个出度为 $0$ 的点（也就是链覆盖的终点）向汇点连边，流量为 $inf$，费用为 $0$

然后跑最大费用最大流，增广的次数即为答案

因为每次增广都相当于覆盖一条链

若原图中的边 $edge_i$ 没有走过，增广过程中，程序肯定会优先选择费用为 $1$ 的边，表示清理它

否则这条边已经清理过了，就只路过不清理

最大费用最大流能够保证用最优的方式覆盖所有边

因此当所有费用为 $1$ 的边都被经过之后，整个图也就覆盖完了，答案就是覆盖的次数