积性函数与线性筛

积性函数与线性筛#

积性函数#

定义#

$\forall a,b$ 互质，有 $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ 的函数 $f(x)$ 为积性函数

常见的积性函数#

$d(n)$：$n$ 的正因子数目

$\sigma(n)$：$n$ 的所有正因子之和

$\varphi(n)$：欧拉函数

$\mu(n)$：莫比乌斯函数

性质#

可以通过 $f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ 来线性筛

积性函数的线性筛#

所有积性函数线性筛的基础是线性筛素数

线性筛素数#

inline void get_prime(){
	not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]) pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;++j){
			not_p[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

线性筛欧拉函数 $\varphi$#

inline void get_phi(){
	phi[1]=1;
    not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]){
			p[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;++j){
			not_p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				break;
			}
			else
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
		}
	}
}

线性筛莫比乌斯函数 $\mu$#

inline void get_mu(){
	mu[1]=1;
    not_p[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(!not_p[i]){
			p[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=N;++j){
			not_p[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
			else
				mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
}