平衡树(Splay)

目录

• 平衡树
  • 不同平衡树
  • 有关 Splay
  • Splay 习题
    • P3391 文艺平衡树
    • P2234 营业额统计
    • P1486 郁闷的出纳员
    • P2286 宠物收养场
    • P3850 书架
    • P3586 LOG

平衡树#

一个题单

不同平衡树#

有许多不同的平衡树

如：替罪羊树，AVI，红黑树，Treap，FHQ-Treap (无旋Treap)，Splay，SBT 等

其中比较重点的是上述后四种

目前只学习了 Splay 和 Treap

能够较为熟练的打出来的只有 Splay

有关 Splay#

代码 (luoguP3396) ：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

#define size six
#define next nex

const int N=2e5+5;

int n;
int size[N],son[N][2],f[N],cnt[N],val[N],tot,rt;

struct Splay{
	inline void maintain(int x){
		size[x]=size[son[x][0]]+size[son[x][1]]+cnt[x];
	}

	inline bool get(int x){
		return x==son[f[x]][1];
	}

	inline void rotate(int x){
		int y=f[x],z=f[y],k=get(x),w=son[x][k^1];
		son[y][k]=w,f[w]=y;
		son[z][get(y)]=x,f[x]=z;
		son[x][k^1]=y,f[y]=x;
		maintain(y),maintain(x);
	}
	
	inline void splay(int x,int pos){
		while(f[x]!=pos){
			int y=f[x],z=f[y];
			if(z!=pos){
				if(get(x)==get(y)) rotate(y);
				else rotate(x);
			}
			rotate(x);
		}
		if(pos==0) rt=x;
	}
	
	inline void insert(int x){
		int cur=rt,p=0;
		for(;cur&&val[cur]!=x;p=cur,cur=son[cur][x>val[cur]]);
		if(cur) ++cnt[cur];
		else{
			cur=++tot;
			if(p) son[p][x>val[p]]=cur;
			son[cur][0]=son[cur][1]=0;
			f[cur]=p,val[cur]=x;
			cnt[cur]=size[cur]=1;
		}
		splay(cur,0);
	}
	
	inline void find(int x){
		int cur=rt;
		for(;son[cur][x>val[cur]]&&x!=val[cur];cur=son[cur][x>val[cur]]);
		splay(cur,0);
	}
	
	inline int xth(int x){
		int cur=rt;
		while(1){
			if(son[cur][0]&&x<=size[son[cur][0]]) cur=son[cur][0];
			else if(x>size[son[cur][0]]+cnt[cur]){
				x-=size[son[cur][0]]+cnt[cur];
				cur=son[cur][1];
			}
			else{
				splay(cur,0);
				return cur;
			}
		}
	}
	
	inline int pre(int x){
		find(x);
		if(val[rt]<x) return rt;
		int cur=son[rt][0];
		while(son[cur][1]) cur=son[cur][1];
		return cur;
	}
	
	inline int next(int x){
		find(x);
		if(val[rt]>x) return rt;
		int cur=son[rt][1];
		while(son[cur][0]) cur=son[cur][0];
		return cur;
	}
	
	inline void del(int x){
		int pr=pre(x),suc=next(x);
		splay(pr,0),splay(suc,pr);
		int y=son[suc][0];
		if(cnt[y]>1){
			--cnt[y];
			splay(y,0);
		}
		else son[suc][0]=0;
		splay(suc,0);
	}
}t;
signed main(){
	n=read();
	t.insert(100000000);
	t.insert(-100000000);
	while(n--){
		int op=read(),x=read();
		if(op==1) t.insert(x);
		if(op==2) t.del(x);
		if(op==3){
			t.find(x);
			printf("%d\n",size[son[rt][0]]);
		}
		if(op==4) printf("%d\n",val[t.xth(x+1)]);
		if(op==5) printf("%d\n",val[t.pre(x)]);
		if(op==6) printf("%d\n",val[t.next(x)]);
	}
}

当然，之后可能会采用结构体的写法

Splay 是平衡树，它是通过 $splay$ (伸展) 这一操作来维持平衡的

$splay(x,pos)$ 表示通过不断 $rotate$ 把 $x$ 节点旋转到 $pos$ 节点的儿子处

$splay(x,0)$ 表示把 $x$ 旋转到根

这样我们可以通过 $splay(pre(val),0)$ $splay(next(val),pre(val))$ 等一系列操作更方便的执行复杂的插入与修改

具体会在题目中阐述

Splay 有两点重要的地方：

• 它可以维护序列
• 它是 LCT(Link Cut Tree) 的基础

个人比较喜欢 Splay 的原因：好学，方便，比 Treap 运用的范围更广

当然 FHQ-Treap 貌似也能维护序列 (可我不会)

Splay 习题#

P3391 文艺平衡树#

题意：

给你一个长度为 $n$ 的序列，序列的第 $i$ 项初始为 $i$

会进行 $m$ 次翻转序列中区间 $[l,r]$ 的操作

最后输出序列

满足 $1\leq n,m\leq 10^5$

思路：

将序列每个点的位置存入平衡树中 (这样它的中序遍历就是最后的序列)

上述操作可以 $insert$ 也可以递归建树 (像线段树一样)

翻转区间 $[l,r]$ 时我们 $splay(l-1,0)$ $splay(r+1,l-1)$

这样区间 $[l,r]$ 就在 $r+1$ 的左子树中

然后将 $r+1$ 的左子树中所有点的左右子树交换就行

但是一次全交换会 T 飞

所以考虑像线段树一样整一个翻转的 $lazytag$

同时在每次访问前 $pushdown$ 更新

这样就可以保证复杂度

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P2234 营业额统计#

题意：

有 $n$ 天，告诉你每天的营业额 $a_i$

我们定义，一天的最小波动值 = $\min\{|\text{该天以前某一天的营业额}-\text{该天营业额}|\}$

特别地，第一天的最小波动值为第一天的营业额

求最小波动值之和

思路：

没什么特别，Splay

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P1486 郁闷的出纳员#

题意：

给你 $n$ 条命令，$\min$ 的值 (工资下界)

• I k 新建一个工资档案，初始工资为 $k$。如果某员工的初始工资低于工资下界，他将立刻离开公司。

• A k 把每位员工的工资加上 $k$ 。

• S k 把每位员工的工资扣除 $k$。

• F k 查询第 $k$ 多的工资。

在初始时，可以认为公司里一个员工也没有。

• $0 \leq n \leq 3 \times 10^5$，$0 \leq \text{min} \leq 10^9$

思路：

考虑到维护 A 操作比较复杂

搞一个增加值 $delta$ 表示当前已经加过 $delta$ 这么多工资

每次插入 $x$ 的时候 $insert(x-delta)$

这样树内的每个值 $val$ 实际上是 $val+delta$

由于需要删掉每个小于 $min$ 的节点

每次删除操作时把大于等于 $min-delta$ 的最小值 $splay$ 到根，然后把根的左儿子变成 $0$

这样就完成了删除操作

注意这里调用 $next(min-delta)$ 就要把 $>$ 改成 $\ge$，或者是调用 $next(min-delta-1)$

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P2286 宠物收养场#

题意：

凡凡开了一间宠物收养场。收养场提供两种服务：收养被主人遗弃的宠物和让新的主人领养这些宠物。

被遗弃的宠物过多时，假若到来一个领养者，这个领养者希望领养的宠物的特点值为 $a$，那么它将会领养一只目前未被领养的宠物中特点值最接近 $a$ 的一只宠物。

（任何两只宠物的特点值都不可能是相同的，任何两个领养者的希望领养宠物的特点值也不可能是一样的）

如果存在两只宠物他们的特点值分别为 $a-b$ 和 $a+b$，那么领养者将会领养特点值为 $a-b$ 的那只宠物。

收养宠物的人过多，假若到来一只被收养的宠物，能够领养它的领养者，是那个希望被领养宠物的特点值最接近该宠物特点值的领养者。

如果该宠物的特点值为a，存在两个领养者他们希望领养宠物的特点值分别为 $a-b$ 和 $a+b$，那么特点值为 $a-b$ 的那个领养者将成功领养该宠物。

一个领养者领养了一个特点值为 $a$ 的宠物，而它本身希望领养的宠物的特点值为 $b$，那么这个领养者的不满意程度为 $|a-b|$。

给你 $n$ 个 领养者和被收养宠物到来收养所的情况，请你计算所有收养了宠物的领养者的不满意程度的总和。

初始时，收养所里面既没有宠物，也没有领养者。

$0<n\leq80000$

思路：

维护一棵 Splay 以及当前树内是宠物还是领养者

找前驱后继，若前驱后继都行则选前驱，然后删掉就行

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P3850 书架#

题意：

有一个书架上有 $N$ 本书，给你 $M$ 本书以及要插入的位置 $x$，将其插进去

$Q$ 次询问，每次问你第 $k$ 本书的名字

$1 \leqslant N \leqslant 200$, $1 \leqslant M \leqslant 10^5$, $1 \leqslant Q \leqslant 10^4$

思路：

Splay 维护位置

每次插入到位置 $x$ 就找到在树中排名为 $x$ 的位置 $a$ 并 $splay(a,0)$

找到在树中排名为 $x-1$ 的位置 $b$ 并 $splay(b,a)$

这样 $b$ 的右儿子为空，我们让 $x$ 为 $b$ 的右儿子就完成了插入

每次查找直接问就行 (因为树中的排名就表示序列中的排名)

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P3586 LOG#

题意：

维护一个长度为 $n$ 的序列，一开始都是 $0$，支持以下两种操作：

1. U k a 将序列中第 $k$ 个数修改为 $a$。
2. Z c s 在这个序列上，每次选出 $c$ 个正数，并将它们都减去 $1$，询问能否进行 $s$ 次操作。

每次询问独立，即每次询问不会对序列进行修改。

思路：

操作 $1$ 很容易

对于操作 $2$ 分为大于等于 $s$ 的数和小于 $s$ 的数，让它们总贡献大于等于 $c\cdot s$ 就行

假设大于等于 $s$ 的数有 $x$ 个，那么它们的贡献就是 $x\cdot s$ (每一个数的贡献至多为 $s$ )

而小于 $s$ 的数的贡献就是它们的和 $Sum$

所以能进行 $s$ 次操作的条件是： $x\cdot s+Sum\ge c\cdot s$

也就是 $Sum\ge (c-x)\cdot s$

因此在 Splay 中 $maintain$ 的时候多维护一个东西 $sum$ (这个东西的维护方式就和 $size$ 一样)

设 $pre(s)=y$，每次查询的时候 $splay(y,0)$，那么就可以计算 $Sum$ 和 $x$ 了

$Sum=sum[p]-sum[son[p][1]]$

$x=size[son[p][1]]]$

注意：代码中 $x=size[son[p][1]]-1$ 因为最开始插入了一个极大值防止越界

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