分治学习笔记

先用洛谷题单的一句话来讲述分治的核心思想#

分治，即分而治之，将大问题分解为小问题，分别求解，最后合并结果。

许多算法都是建立在分治的基础上的，比如说快速排序，归并排序等

不难发现每个图案是由许多这个图案组成的：

 /\
/__\

然后就可以用分治来递归解决本题，别忘了处理空格哟

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
string ans[1500];
void sum(int x){
	for(int i=x;i<(x<<1);i++) ans[i]=ans[i-x]+ans[i-x];//把图形往下复制两个
	for(int i=0;i<x;i++){
		ans[i].insert(0,x,' ');
		ans[i].insert(ans[i].length(),x,' ');//处理空格
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	ans[0]=" /\\ ",ans[1]="/__\\";//'\'是转义字符
	for (int i=1;i<n;i++) sum(1<<i);//复制原图形
	for (int i=0;i<(1<<n);i++) cout<<ans[i],putchar('\n');//输出
}

例题2，3，4：逆序对车厢重组最接近神的人

这三题都是逆序对，详情见这个blog

例题5：象棋比赛

这道题目相当于就是求最小的 $k$ 个差的和

所以我们要让每个差尽量小

先把数组排序一遍，这样相邻两个数的差已经比其他的小

举个例子：

5个数：31425

排好序后：12345

那么3-2<4-2

所以最后再把相邻两个数的差排序一边就可以了

建议训练手写快排和归排

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
inline void swap(int &a,int &b){int t=a;a=b,b=t;}
inline void qsort(int a[],int l,int r){
	int i=l,j=r;
	int mid=a[(i+j)>>1];
	do{
		while(mid>a[i]) ++i;
		while(mid<a[j]) --j;
		if(i<=j) swap(a[i],a[j]),++i,--j;
	}while(i<=j);
	if(j>l) qsort(a,l,j);
	if(i<r) qsort(a,i,r);
}//快速排序
int a[N],b[N],ans;
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	qsort(a,1,n);
	for(int i=1;i<=n-1;++i) b[i]=a[i+1]-a[i];//b表示差数组
	qsort(b,1,n-1);
	for(int i=1;i<=k;++i) ans+=b[i];//统计
	cout<<ans;
	return 0;
}

例题6：瑞士轮

这个题就是排序一下就行了

值得注意的是，排序的时候用 $sort$ 会是个 $O(nlogn)$ 的复杂度，因此需要用归并排序中的归并操作

P.S.我为了用STL通过卡了一页还没过（；´д｀）ゞ记录 $\ \$ 几乎要卡过的一次

代码：

#include<bits/stdc++.h>       
using namespace std;
const int N=200005; 
int n,r,q;    
int a[N],ss[N],ww[N];    
int s[N],w[N];     
inline bool cmp(int x,int y){return s[x]^s[y]?s[x]>s[y]:x<y;}
inline void merge(){    
    int i=1,j=1;a[0]=0; 
    while(i<=ss[0] && j<=ww[0])    
        if(cmp(ss[i],ww[j])) a[++a[0]]=ss[i++];    
        else a[++a[0]]=ww[j++];    
    while(i<=ss[0]) a[++a[0]]=ss[i++];    
    while(j<=ww[0]) a[++a[0]]=ww[j++];                    
}    
int main()    {    
    cin>>n>>r>>q;n<<=1;    
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;    
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];    
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];    
    sort(a+1,a+n+1,cmp);    
    for(int i=1;i<=r;i++){    
        ss[0]=ww[0]=0;    
        for(int j=1;j<=n;j+=2)    
            if(w[a[j]]>w[a[j+1]]){    
                s[a[j]]++;    
                ss[++ss[0]]=a[j];    
                ww[++ww[0]]=a[j+1];    
            }    
            else s[a[j+1]]++,ss[++ss[0]]=a[j+1],ww[++ww[0]]=a[j];    
        merge(); //归并                   
    }    
    cout<<a[q];
    return 0;    
}

例题7：幂次方

直接无脑递归，先算出 $2^?$ 最接近 $n$ 但是比 $n$ 小

然后把 $n$ 减去这个数变成新的 $n$

重复这两个步骤即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
inline void solve(int x){
	if(n){
		int a=1,b=-1;
		putchar('2');
		while(a<=x) ++b,a<<=1;
		if(b==0||b==2)printf("(%d)",b);
		if(b>2) putchar('('),solve(b),putchar(')');
		x-=(a>>1);
		if(x) putchar('+'),solve(x);
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	solve(n);
}

例题8：【模板】快速幂||取余运算

这个题的思想把这个要求的幂次换成二进制(口胡)

核心代码

ll fastpow(ll x,ll y,ll mod){//是求x的y次方
    ll qwq=1,cnt=x;//答案和
    while(y)
    {
        if(y&1) qwq*=cnt;//如果y的最后一位是1就把ans乘上对应的数
        cnt*=cnt;//乘上自己
        cnt%=mod;//取模
        y>>=1;//除以2
        qwq%=mod;
    }
    return qwq%mod;
}

例题9：黑白棋子的移动

这道题目前面几个还是很好找规律的

就是把中间的"o*"的丢到最右边，再把"__"丢到最左边的'*'的左边

打表发现后6个字符一定是"o*o*o*"

代码：

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
int n;
char ch[205];
void print(){for(int i=0;i<(n<<1)+2; i++) putchar(ch[i]);putchar('\n');}
void move(int s, int e){移动函数
    swap(ch[s], ch[e]);
    swap(ch[s+1], ch[e+1]);
    print();
}
string out[4]={"ooo*o**--*", "o--*o**oo*", "o*o*o*--o*", "--o*o*o*o*"};//表
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i) ch[i]='o';
    for(int i=n;i<n<<1;++i) ch[i]='*';
    ch[n<<1]='-',ch[n<<1|1]='-';//初始状态
    print();
    int len = n;
    while(1){
        move(len-1,len<<1);//交换
        len--;
        if (len==3) break;//不符合则开始打表
        move(len,2*len);
    }
    string s;
    for(int i=0;i<n-4;++i)
        s+="o*";
    for(int i=0;i<4;++i)
        cout<<out[i]<<s<<'\n';
}

例题10 麦森数

先完成第一个问题：
设 $2^P$ = $10^ Q$

那么 $Q$ = $log_{10}2^p$ = $p*log_{10}(2)$

$10^{n}$ 的位数为 $n$ + $1$

所以 $2^P$ 位数为 $P$ * $log_{10}(2)$ + $1$

第二个问题就是高精度乘法压位运算

代码不难得出：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll EA=100000;//%%%EA
int a[101]={1};
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	printf("%d\n",(int)(log10(2)*n+1));
	int l=n%10;n/=10;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=0;j<=100;++j) a[j]<<=10;//先位移再运算
		for(int j=0;j<=100;++j)
			if(a[j]>=EA)//如果大于%的对象就%他
				a[j+1]+=a[j]/EA,a[j]%=EA;
	}
	for(int i=1;i<=l;++i){
		for(int j=0;j<=100;++j) a[j]<<=1;
		for(int j=0;j<=100;++j)
			if(a[j]>=EA)
				a[j+1]+=a[j]/EA,a[j]%=EA;
	} 
	--a[0];
	for(int i=99;i>-1;--i){//倒序输出
		printf("%05d",a[i]);//只输出5个数字
		if(i%10==0) putchar('\n');//格式
	}
}