分治学习笔记
先用洛谷题单的一句话来讲述分治的核心思想
分治，即分而治之，将大问题分解为小问题，分别求解，最后合并结果。
许多算法都是建立在分治的基础上的，比如说快速排序，归并排序等
例题1：南蛮图腾
不难发现每个图案是由许多这个图案组成的：
/\
/__\
然后就可以用分治来递归解决本题，别忘了处理空格哟
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
string ans[1500];
void sum(int x){
for(int i=x;i<(x<<1);i++) ans[i]=ans[i-x]+ans[i-x];//把图形往下复制两个
for(int i=0;i<x;i++){
ans[i].insert(0,x,' ');
ans[i].insert(ans[i].length(),x,' ');//处理空格
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
ans[0]=" /\\ ",ans[1]="/__\\";//'\'是转义字符
for (int i=1;i<n;i++) sum(1<<i);//复制原图形
for (int i=0;i<(1<<n);i++) cout<<ans[i],putchar('\n');//输出
}
这三题都是逆序对，详情见这个blog
例题5：象棋比赛
这道题目相当于就是求最小的\(k\)个差的和
所以我们要让每个差尽量小
先把数组排序一遍，这样相邻两个数的差已经比其他的小
举个例子：
5个数：31425
排好序后：12345
那么3-2<4-2
所以最后再把相邻两个数的差排序一边就可以了
建议训练手写快排和归排
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
inline void swap(int &a,int &b){int t=a;a=b,b=t;}
inline void qsort(int a[],int l,int r){
int i=l,j=r;
int mid=a[(i+j)>>1];
do{
while(mid>a[i]) ++i;
while(mid<a[j]) --j;
if(i<=j) swap(a[i],a[j]),++i,--j;
}while(i<=j);
if(j>l) qsort(a,l,j);
if(i<r) qsort(a,i,r);
}//快速排序
int a[N],b[N],ans;
int main(){
int n,k;
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
qsort(a,1,n);
for(int i=1;i<=n-1;++i) b[i]=a[i+1]-a[i];//b表示差数组
qsort(b,1,n-1);
for(int i=1;i<=k;++i) ans+=b[i];//统计
cout<<ans;
return 0;
}
例题6：瑞士轮
这个题就是排序一下就行了
值得注意的是，排序的时候用\(sort\)会是个\(O(nlogn)\)的复杂度，因此需要用归并排序中的归并操作
P.S.我为了用STL通过卡了一页还没过（；´д｀）ゞ 记录$\ \ $ 几乎要卡过的一次
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200005;
int n,r,q;
int a[N],ss[N],ww[N];
int s[N],w[N];
inline bool cmp(int x,int y){return s[x]^s[y]?s[x]>s[y]:x<y;}
inline void merge(){
int i=1,j=1;a[0]=0;
while(i<=ss[0] && j<=ww[0])
if(cmp(ss[i],ww[j])) a[++a[0]]=ss[i++];
else a[++a[0]]=ww[j++];
while(i<=ss[0]) a[++a[0]]=ss[i++];
while(j<=ww[0]) a[++a[0]]=ww[j++];
}
int main() {
cin>>n>>r>>q;n<<=1;
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
sort(a+1,a+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=r;i++){
ss[0]=ww[0]=0;
for(int j=1;j<=n;j+=2)
if(w[a[j]]>w[a[j+1]]){
s[a[j]]++;
ss[++ss[0]]=a[j];
ww[++ww[0]]=a[j+1];
}
else s[a[j+1]]++,ss[++ss[0]]=a[j+1],ww[++ww[0]]=a[j];
merge(); //归并
}
cout<<a[q];
return 0;
}
例题7：幂次方
直接无脑递归，先算出\(2^?\)最接近\(n\)但是比\(n\)小
然后把\(n\)减去这个数变成新的\(n\)
重复这两个步骤即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
inline void solve(int x){
if(n){
int a=1,b=-1;
putchar('2');
while(a<=x) ++b,a<<=1;
if(b==0||b==2)printf("(%d)",b);
if(b>2) putchar('('),solve(b),putchar(')');
x-=(a>>1);
if(x) putchar('+'),solve(x);
}
}
int main(){
cin>>n;
solve(n);
}
例题8：【模板】快速幂||取余运算
这个题的思想把这个要求的幂次换成二进制(口胡)
核心代码
ll fastpow(ll x,ll y,ll mod){//是求x的y次方
ll qwq=1,cnt=x;//答案和
while(y)
{
if(y&1) qwq*=cnt;//如果y的最后一位是1就把ans乘上对应的数
cnt*=cnt;//乘上自己
cnt%=mod;//取模
y>>=1;//除以2
qwq%=mod;
}
return qwq%mod;
}
例题9：黑白棋子的移动
这道题目前面几个还是很好找规律的
就是把中间的"o*"的丢到最右边，再把"__"丢到最左边的'*'的左边
打表发现后6个字符一定是"o*o*o*"
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
char ch[205];
void print(){for(int i=0;i<(n<<1)+2; i++) putchar(ch[i]);putchar('\n');}
void move(int s, int e){移动函数
swap(ch[s], ch[e]);
swap(ch[s+1], ch[e+1]);
print();
}
string out[4]={"ooo*o**--*", "o--*o**oo*", "o*o*o*--o*", "--o*o*o*o*"};//表
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;++i) ch[i]='o';
for(int i=n;i<n<<1;++i) ch[i]='*';
ch[n<<1]='-',ch[n<<1|1]='-';//初始状态
print();
int len = n;
while(1){
move(len-1,len<<1);//交换
len--;
if (len==3) break;//不符合则开始打表
move(len,2*len);
}
string s;
for(int i=0;i<n-4;++i)
s+="o*";
for(int i=0;i<4;++i)
cout<<out[i]<<s<<'\n';
}
例题10 麦森数
先完成第一个问题：
设\(2^P\)=\(10^ Q\)
那么\(Q\)=\(log_{10}2^p\)=\(p*log_{10}(2)\)
\(10^{n}\)的位数为\(n\)+\(1\)
所以\(2^P\)位数为\(P\)*\(log_{10}(2)\)+\(1\)
第二个问题就是高精度乘法压位运算
代码不难得出：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll EA=100000;//%%%EA
int a[101]={1};
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",(int)(log10(2)*n+1));
int l=n%10;n/=10;
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=0;j<=100;++j) a[j]<<=10;//先位移再运算
for(int j=0;j<=100;++j)
if(a[j]>=EA)//如果大于%的对象就%他
a[j+1]+=a[j]/EA,a[j]%=EA;
}
for(int i=1;i<=l;++i){
for(int j=0;j<=100;++j) a[j]<<=1;
for(int j=0;j<=100;++j)
if(a[j]>=EA)
a[j+1]+=a[j]/EA,a[j]%=EA;
}
--a[0];
for(int i=99;i>-1;--i){//倒序输出
printf("%05d",a[i]);//只输出5个数字
if(i%10==0) putchar('\n');//格式
}
}
