浅谈树状数组

P.S. 树状数组之前认为难以理解，但是看了这个之后，恍然大悟，以下题目来自洛谷#

先三连+%up为敬

问题P3374：给你n个数，要进行k次单点修改和区间查询的操作#

给出一个表来对比一下暴力和树状数组：

做法	修改复杂度	查询复杂度
朴素暴力	$O(1)$	$O(n×k)$
树状数组	$O(logn)$	$O(logn)$

借百度的图讲一下：

令这棵树的结点编号为$f_1$，$f_2$...$f_n$，数组编号为$a_1$，$a_2$...$a_n$

所以：

$f_1$=$a_1$

$f_2$=$a_1$+$a_2$

$f_3$=$a_3$

$f_4$=$a_1$+$a_2$+$a_3$+$a_4$

……

发现性质：设节点编号为$i$，那么这个节点管辖的区间为$2^k$(其中$k$为$i$二进制末尾0的个数)个元素

因为这个区间最后一个元素必然为$a_i$，

比如说，我们要求$f_4$，可以得到

$f_4$=$a_1$+$a_2$+$a_3$

把4转换为2进制，$(4)_{10}$=$(100)_2$

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然后就是区间查询

假如我们要查询$a_1$+$a_2$+...+$a_{13}$的值就是要查询这几个区间的和的：

所以$a_1$+$a_2$+...+$a_{13}$=$f_8$+$f_{12}$+$f_{13}$，只用把3个值加起来就行了

$(13)_{10}$=$(1101)_2$

操作	1	2	3
抹去二进制的最后一个1	$(1101)_2$	$(1100)_2$	$(1000)_2$
转化成十进制	13	12	8
管辖的范围	$2^0$	$2^2$	$2^3$

神奇的发现：$2^0$+$2^2$+$2^3$恰好等于13#

由于每次最多抹掉$log(n)$个0，也就是最多有$log(n)$次查询，复杂度为$O(logn)$#

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接下来是单点修改

假如要修改的节点编号为$i$

由于$f$数组储存的是前缀和，所以要修改所有包含$i$的区间

当$i$=5时，就是要修改这几个区间的值：

不难发现，对于单点修改的操作，其实就是把区间查询的操作倒了过来

操作	1	2	3	4
在二进制的最后一个1的位置加1	$(101)_2$	$(110)_2$	$(1000)_2$	$(10000)_2$
转化成十进制	5	6	8	16
管辖的范围	$2^0$	$2^1$	$2^3$	$2^4$

这里就不再阐述了

总结：查询就是在最后一个1的位置减1，修改就是在最后一个1的位置加1#

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那怎么得到二进制的最后一个1在哪里

$\large\boxed{lowbit}$操作#

inline int lowbit(int x) { return x & -x; }

这段代码是什么含义呢？

先谈谈二进制中如何表示负数：

一个正数的相反数用二进制表示就是这个数按位取反再+1

比如说$(1100)_2$的负数用二进制表示就是$(0011)_2$+1，也就是$(0100)_2$

$1100$&$0100$=$0100$

那为什么$lowbit$能求二进制最末位的1在哪？

我们要求的这个数末尾连续的0取反之后会全部变成1(就是二进制下这个数的相反数减一之后末尾的1与这个数末尾的0的数量相同)

在负数中把减去的1加上之后，末尾的1会全部变成0，而最末尾的0会变成1(加法)

以12为例子，给张图理解一下：

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放上核心代码：

int n, f[100003];
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
inline int query(int x)//查询
{
    int ans = 0;
    while (x)
        ans += f[x], x -= lowbit(x);
    return ans;
}
inline void add(int x, int val)//修改
{
    while (x <= n)
        f[x] += val, x += lowbit(x);
}

P.S.求$[l,r]$区间和就是求$query(r)-query(l-1)$的值

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问题P3368区间修改和单点查询#

如果上面宁已经看懂了，接下来的内容就很简单了

区间修改，其实用到了差分的思想

之前的$f_i$是指$1$~$i$的和(及前缀和)，这里$f$储存的是差分数组

还是拿百度的图举例子

假如此时我们要把区间$a[1,6]$都加上值$val$应该如何操作呢？

利用差分的思想，在1的位置上加上val，在6+1的位置上减去val

这样查询$f[1,6]$时，就正好加上了值，查询到大于6的时候，先加了$val$，又减去了$val$正好抵消$qwq$

然后给出$\color{limegreen}{AC}$代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,opt,l,r,k,pre,now,f[500005];
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline ll lowbit(ll x){return x&-x;}
inline ll query(ll x){ll ans=0;while(x) ans+=f[x],x-=lowbit(x);return ans;}
inline void add(ll x,ll val){while(x<=n) f[x]+=val,x+=lowbit(x);}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(ll i=1;i<=n;++i){now=read();add(i,now-pre);pre=now;}
    while(m--){
        opt=read();
        if(opt==1) {l=read(),r=read(),k=read();add(l,k),add(r+1,-k);}
        else k=read(),printf("%lld\n",query(k));
    }
    return 0;
}

欢迎提出建议$qwq$

完结撒花$qwq$