整除分块

引入

这道题：UVA11526 H(n)

就相当于求这个柿子：\(\boxed{\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}\)

我们有\(O(\sqrt n)\)的做法——整除分块

求的是\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)

因为是向下取整，所以有些值是一样的

比如\(n=5\)时，\(\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor\)和\(\left\lfloor\dfrac{n}{4}\right\rfloor\)和\(\left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor\)的结果一样

不难发现，这些值是像块状一样分布的\(qwq\)

每一个值相同的块的\(i\)的最大值一定是\(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor\)

可以写出以下代码qwq(附解释):

那么时间复杂度呢？

解：\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\)的取值最多只有\(2\sqrt n\)种，理由如下

当\(1\leqslant i \leqslant \sqrt n\)时，\(i\)的取值有\(\sqrt n\)种，则上述式子最多只有\(\sqrt n\)种取值
当\(\sqrt n \leqslant i \leqslant n\)时，上述式子取值最多也有\(\sqrt n\)种
总共最多有\(2\sqrt n\)种取值

由于代码枚举了\(2\sqrt n\)次取值，复杂度便为\(\sqrt n\)

比暴力好了许多\(qwq\)