整除分块

引入#

这道题：UVA11526 H(n)

就相当于求这个柿子：$\boxed{\sum\limits_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}$

我们有$O(\sqrt n)$的做法——整除分块

求的是$\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$

因为是向下取整，所以有些值是一样的

比如$n=5$时，$\left\lfloor\dfrac{n}{3}\right\rfloor$和$\left\lfloor\dfrac{n}{4}\right\rfloor$和$\left\lfloor\dfrac{n}{5}\right\rfloor$的结果一样

不难发现，这些值是像块状一样分布的$qwq$

每一个值相同的块的$i$的最大值一定是$\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor$

可以写出以下代码qwq(附解释):

那么时间复杂度呢？

解：$\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$的取值最多只有$2\sqrt n$种，理由如下

当$1\leqslant i \leqslant \sqrt n$时，$i$的取值有$\sqrt n$种，则上述式子最多只有$\sqrt n$种取值
当$\sqrt n \leqslant i \leqslant n$时，上述式子取值最多也有$\sqrt n$种
总共最多有$2\sqrt n$种取值

由于代码枚举了$2\sqrt n$次取值，复杂度便为$\sqrt n$

比暴力好了许多$qwq$