KMP

KMP理解起来有些困难，所以说，要理解，最重要的地方就是$\large\boxed{画图}$！！

参照：KMP算法详解

名字来源#

$Knuth(D.E.Knuth)\&Morris(J.H.Morris)\&Pratt(V.R.Pratt)$发明KMP算法，因此称作KMP

没错，就是这样，我都不认识

看看这个题(From:Luogu)#

【模板】KMP字符串匹配

题目描述：#

给出两个字符串$s_1$和$s_2$，若$s_1$的区间$[l,r]$子串与$s_2$完全相同，则称$s_2$在$s_1$中出现了，其出现位置为$l$。
现在请你求出$s_2$在$s_1$中所有出现的位置。

定义一个字符串$s$的 border 为$s$的一个非$s$本身的子串$t$满足$t既是$s$的前缀，又是$s的后缀
对于$s_2$，你还需要求出对于其每个前缀$s'$的最长 border $t'$的长度

---

这题，朴素暴力？
期望复杂度$O(n+m)$

但是有的毒瘤良心出题人会给你卡成$O(nm)$
TLE必不可少

有些地方失配了，暴力的算法会到下一位继续从头开始匹配，而有些是明显不用匹配的
怎么处理呢？

KMP闪亮登场

$KMP$算法：可以实现复杂度为O(m+n)#

如何简化了时间复杂度呢？

这个算法充分利用了目标字符串s_2的性质(比如里面部分字符串的重复性，即使不存在重复字段，在比较时，实现最大的移动量)#

放一张图来展示$KMP$算法的精髓(来自某本书里)：

假定在匹配的过程中正在比较文本串$T$($T$为$ababaabbaabbaabab$)*位置的字符和模板串$P$($P$为$abbaaba$)的最后一个字符，发现二者不同(称为失配)

这时，朴素算法会把模板串右移一位，重新比较$abbaaba$的第一个字符和文本串！！位置的字符。

我们已经知道灰色部分就是$abbaab$，可以直接利用模板串本身的特性判断出右移一位一定不是匹配

同理，右移两位或者三位也不行，但是右移四位是有可能的

这个时候，需要比较*处的字符和$abbaaba$的第三个字符

我们创建一个$next$数组，其中$next_i$表示的是前$i$的字符组成的这个子串最长的相同前缀后缀的长度！

例如字符串$ababa$的相同前缀后缀有$aba$和$a$，那么其中最长的就是$aba$

至于为什么要选最长的相同前缀后缀，其实是一个贪心的思想

我们要跳$next$数组，必须要保证不能错过任何一个可以匹配的位置，并且跳跃的距离要尽量大

假若我们随便选取一个相同前缀后缀，那么会错过一些地方

--------------------------------------------------------------------分割线--------------------------------------------------------------------------

所以，$P$的$next$数组如下($i$表示当前的位置)：

那么如何用$next$数组去匹配呢？

我们再用i表示当前A串要匹配的位置（即还未匹配），j表示当前B串匹配的位置（同样也是还未匹配）

首先从头开始匹配，直到失配

然后再直接将$j$跳转到$next[j]$的位置

相信都能写出代码了qwq

然后给出一份代码：

inline void find(char P[],char T[]){
    getnext();
    j=0;                                            //当前结点编号，初始为0号结点
    for(int i=0;i<n;++i){                           //文本串当前指针
        while(j>0&&P[j]!=T[i]) j=nxt[j];            //如果不匹配，则将利用kmp数组往回跳直到匹配
        if(P[j]==T[i]) ++j;                         //匹配成功就把对应位置++
        if(j==m){printf("%d\n",i-m+2);j=nxt[j];}    //找到了,输出位置,然后继续
    }
}

然后就是计算$next$数组

就比如说$P$为$ababax$，求$next_5和next_6$

此时我们已经求出了$next_4=2$，所以很明显$next[1,2]=next[3,4]$

然后，我们又知道了$next_3=next_5$，所以，$next[1,3]==next[3,5]$，$next_5=next_4+1$

那么$next_6$呢？

显然它不能由$next_5$转移过来，因为$next_3$不等于$next_6$

接着便看能不能由$next[next_5]$转移过来，但是也不行

然后是$next[next[next_5]]$……套娃

最后推到$next_1$也不行，所以$next_6=0$

神似$find()$函数，其实就是$P$和$P$自我匹配的过程

最后给出代码：

inline void getnext(){
    nxt[0]=nxt[1]=0;                        //边界初始化
    j=0;
    for(int i=1;i<m;++i){                   //自己匹配自己
        while(j>0&&P[i]!=P[j]) j=nxt[j];    //找到最长的前后缀重叠长度
        nxt[i+1]=P[i]==P[j]?++j:0;          //不相等的情况，即无前缀能与后缀重叠，直接赋值位0（注意是给下一位,因为匹配的是下一位失配的情况）
    }
}

注意：#

1.$next_0$和$next_1$都是1
2.这是一个从前往后的推导(类似于dp)
3.若以某一位结尾的子串不存在相同的前缀和后缀，这个位的F置为0

应该解释的很清楚了吧qwq

下面放上完整代码：

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N=1000005;
char T[N],P[N];
int nxt[N];
int m,n,j;
inline void getnext(){
    nxt[0]=nxt[1]=0;                       //边界初始化
    j=0;
    for(int i=1;i<m;++i){                   //自己匹配自己
        while(j>0&&P[i]!=P[j]) j=nxt[j];    //找到最长的前后缀重叠长度
        nxt[i+1]=P[i]==P[j]?++j:0;          //不相等的情况，即无前缀能与后缀重叠，直接赋值位0（注意是给下一位,因为匹配的是下一位失配的情况）
    }
}
inline void find(){
    getnext();
    j=0;                                            //当前结点编号，初始为0号结点
    for(int i=0;i<n;++i){                           //文本串当前指针
        while(j>0&&P[j]!=T[i]) j=nxt[j];            //如果不匹配，则将利用kmp数组往回跳直到匹配
        if(P[j]==T[i]) ++j;                         //匹配成功就把对应位置++
        if(j==m){printf("%d\n",i-m+2);j=nxt[j];}    //找到了,输出位置,然后继续
    }
}
int main(){
    scanf("%s %s",T,P);
    m=strlen(P),n=strlen(T);
    find();
    for(int i=1;i<=m;++i) cout<<nxt[i]<<' ';
    return 0;
}

习题：Loj103