KMP
KMP理解起来有些困难，所以说，要理解，最重要的地方就是\(\large\boxed{画图}\)！！
参照：KMP算法详解
名字来源
\(Knuth(D.E.Knuth)\&Morris(J.H.Morris)\&Pratt(V.R.Pratt)\)发明KMP算法，因此称作KMP
没错，就是这样，我都不认识
看看这个题(From:Luogu)
题目描述：
给出两个字符串\(s_1\)和\(s_2\)，若\(s_1\)的区间\([l,r]\)子串与\(s_2\)完全相同，则称\(s_2\)在\(s_1\)中出现了，其出现位置为\(l\)。
现在请你求出\(s_2\)在\(s_1\)中所有出现的位置。
定义一个字符串\(s\)的 border 为\(s\)的一个非\(s\)本身的子串\(t\)满足\(t既是\)s\(的前缀，又是\)s的后缀
对于\(s_2\)，你还需要求出对于其每个前缀\(s'\)的最长 border \(t'\)的长度
这题，朴素暴力？
期望复杂度\(O(n+m)\)
但是有的毒瘤良心出题人会给你卡成\(O(nm)\)
TLE必不可少
有些地方失配了，暴力的算法会到下一位继续从头开始匹配，而有些是明显不用匹配的
怎么处理呢？
KMP闪亮登场
\(KMP\)算法：可以实现复杂度为O(m+n)
如何简化了时间复杂度呢？
这个算法充分利用了目标字符串s_2的性质(比如里面部分字符串的重复性，即使不存在重复字段，在比较时，实现最大的移动量)
放一张图来展示\(KMP\)算法的精髓(来自某本书里)：
假定在匹配的过程中正在比较文本串\(T\)(\(T\)为\(ababaabbaabbaabab\))*位置的字符和模板串\(P\)(\(P\)为\(abbaaba\))的最后一个字符，发现二者不同(称为失配)
这时，朴素算法会把模板串右移一位，重新比较\(abbaaba\)的第一个字符和文本串！！位置的字符。
我们已经知道灰色部分就是\(abbaab\)，可以直接利用模板串本身的特性判断出右移一位一定不是匹配
同理，右移两位或者三位也不行，但是右移四位是有可能的
这个时候，需要比较*处的字符和\(abbaaba\)的第三个字符
我们创建一个\(next\)数组，其中\(next_i\)表示的是前\(i\)的字符组成的这个子串最长的相同前缀后缀的长度！
例如字符串\(ababa\)的相同前缀后缀有\(aba\)和\(a\)，那么其中最长的就是\(aba\)
至于为什么要选最长的相同前缀后缀，其实是一个贪心的思想
我们要跳\(next\)数组，必须要保证不能错过任何一个可以匹配的位置，并且跳跃的距离要尽量大
假若我们随便选取一个相同前缀后缀，那么会错过一些地方
--------------------------------------------------------------------分割线--------------------------------------------------------------------------
所以，\(P\)的\(next\)数组如下(\(i\)表示当前的位置)：
那么如何用\(next\)数组去匹配呢？
我们再用i表示当前A串要匹配的位置（即还未匹配），j表示当前B串匹配的位置（同样也是还未匹配）
首先从头开始匹配，直到失配
然后再直接将\(j\)跳转到\(next[j]\)的位置
相信都能写出代码了qwq
然后给出一份代码：
inline void find(char P[],char T[]){
getnext();
j=0; //当前结点编号，初始为0号结点
for(int i=0;i<n;++i){ //文本串当前指针
while(j>0&&P[j]!=T[i]) j=nxt[j]; //如果不匹配，则将利用kmp数组往回跳直到匹配
if(P[j]==T[i]) ++j; //匹配成功就把对应位置++
if(j==m){printf("%d\n",i-m+2);j=nxt[j];} //找到了,输出位置,然后继续
}
}
然后就是计算\(next\)数组
就比如说\(P\)为\(ababax\)，求\(next_5和next_6\)
此时我们已经求出了\(next_4=2\)，所以很明显\(next[1,2]=next[3,4]\)
然后，我们又知道了\(next_3=next_5\)，所以，\(next[1,3]==next[3,5]\)，\(next_5=next_4+1\)
那么\(next_6\)呢？
显然它不能由\(next_5\)转移过来，因为\(next_3\)不等于\(next_6\)
接着便看能不能由\(next[next_5]\)转移过来，但是也不行
然后是\(next[next[next_5]]\)……套娃
最后推到\(next_1\)也不行，所以\(next_6=0\)
神似\(find()\)函数，其实就是\(P\)和\(P\)自我匹配的过程
最后给出代码：
inline void getnext(){
nxt[0]=nxt[1]=0; //边界初始化
j=0;
for(int i=1;i<m;++i){ //自己匹配自己
while(j>0&&P[i]!=P[j]) j=nxt[j]; //找到最长的前后缀重叠长度
nxt[i+1]=P[i]==P[j]?++j:0; //不相等的情况，即无前缀能与后缀重叠，直接赋值位0（注意是给下一位,因为匹配的是下一位失配的情况）
}
}
注意：
1.\(next_0\)和\(next_1\)都是1
2.这是一个从前往后的推导(类似于dp)
3.若以某一位结尾的子串不存在相同的前缀和后缀，这个位的F置为0
应该解释的很清楚了吧qwq
下面放上完整代码：
#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N=1000005;
char T[N],P[N];
int nxt[N];
int m,n,j;
inline void getnext(){
nxt[0]=nxt[1]=0; //边界初始化
j=0;
for(int i=1;i<m;++i){ //自己匹配自己
while(j>0&&P[i]!=P[j]) j=nxt[j]; //找到最长的前后缀重叠长度
nxt[i+1]=P[i]==P[j]?++j:0; //不相等的情况，即无前缀能与后缀重叠，直接赋值位0（注意是给下一位,因为匹配的是下一位失配的情况）
}
}
inline void find(){
getnext();
j=0; //当前结点编号，初始为0号结点
for(int i=0;i<n;++i){ //文本串当前指针
while(j>0&&P[j]!=T[i]) j=nxt[j]; //如果不匹配，则将利用kmp数组往回跳直到匹配
if(P[j]==T[i]) ++j; //匹配成功就把对应位置++
if(j==m){printf("%d\n",i-m+2);j=nxt[j];} //找到了,输出位置,然后继续
}
}
int main(){
scanf("%s %s",T,P);
m=strlen(P),n=strlen(T);
find();
for(int i=1;i<=m;++i) cout<<nxt[i]<<' ';
return 0;
}
习题：Loj103
