projectEuler 12 Highly divisible triangular number

题意

求最小的因子个数大于\(500\)的三角形数

分析

可以发现三角形数\(\frac{n(n+1)}{2}\)​中的\(n\)​和\(n+1\)​是互质的。不妨设\(n\)​为偶数，那么\(d(\frac{n(n+1)}{2})=d(\frac{n}{2})d(n+1)\)​​。

又有\(d(\frac{9699690}{2})\times d(9699689)=128\times8=1024\)​（其中\(9699690=2\times3\times5\times7\times11\times13\times17\times19\)​​​），只要用线性筛筛\({10}^7\)以内的质数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
constexpr int N(1e7);
int p[N],pcnt;
int c[N],cp[N],d[N];

int main() {
  for(int i=2;i<N;i++) {
    if(!p[i]) {
      p[++pcnt]=i;
      c[i]=1;
      cp[i]=i;
      d[i]=2;
    }
    for(int j=1;j<=pcnt && p[j]<N/i;j++) {
      p[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]!=0) {
        c[i*p[j]]=1;
        cp[i*p[j]]=p[j];
        d[i*p[j]]=d[i]*2;
      } else {
        c[i*p[j]]=c[i]+1;
        cp[i*p[j]]=cp[i]*p[j];
        d[i*p[j]]=d[i/cp[i]]*(c[i*p[j]]+1);
        break;
      }
    }
    int x=i,y=i-1;
    if(x%2) swap(x,y);
    int ans=d[x]/(c[x]+1)*c[x]*d[y];
    if(ans>500) {
      cout<<i-1<<','<<i<<endl;
      cout<<(1ll*x*y/2)<<endl;
      break;
    }
  }

  return 0;
}