nowcoder11254A Guess and lies(2021牛客暑期多校训练营3)dp

题意

Alice和Bob在玩猜数字游戏。开始，Alice选一个\(1-n\)之间的数\(y\)。Bob每次给Alice一个\(x\)，问Alice是否有\(y\ge x\)。Alice有一次欺骗Bob的机会。Alice希望最大化轮数，Bob则希望最小化轮数。问对于\(x_0=1,2,\dots,n\)（即Bob第一次问的值为\(x_0\)且Alice第一次回答为\(yes\)时），期望增加的轮数（第一次不算）是多少？（\(2\le n\le2000\)）

分析

首先，Bob有一个比较差的策略是每个点问两次，如果两次不同再问第三次，从而可以二分判断\(y\)的值，那么答案的上界即为\(2\lceil log(n)\rceil+1\)。

然后，我们看Bob的一次询问获得了什么信息。对于一次询问\(x\)，如果Alice回答了\(yes\)则对所有真正答案在\([1,x-1]\)的情况撒了一次谎；如果回答了\(no\)则对真正答案在\([x,n]\)的情况撒了一次谎。

所以我们可以记录一个\(a\)数组，\(a_i\)表示如果答案为\(i\)那么Alice撒了几次谎。显然Alice只能撒一次谎，那么\(a\)数组中值大于等于\(2\)的位置一定不是Alice一开始想的\(y\)。那么游戏就变为了Bob选取\([1-n]\)的一个划分，Alice要把其中一部分加一，直到只出现一个位置的\(a_i\le1\)，游戏结束，\(y\)即为\(i\)。

转化后我们可以发现，在排除掉当前状态中所有的\(\ge2\)的数后，剩下的一定是\(a\)个\(0\)，\(b\)个\(1\)，\(c\)个\(0\)的情况（\(a,b,c\ge0\)）。初始的情况是Alice回答了\(yes\)，然后形成了一个类似\(111000\)的串。然后对于每次询问\(110011\)可以划分在中间形成\(221011\)或\(110122\)，或者是划分在两端形成\(210011\)或\(121122\)。其中\(121122\)可以看作\(a=1,b=0,c=2\)的情况，因为中间的\(2\)本质不影响。

对于这个问题，首先可以可以列出一个\(O(n^4)\)的dp：\(dp[a][b][c]\)表示当前状态步数最小值，\(dp[a][b][c]=min\{max(dp[a-i][b][c],dp[i][0][b]),max(dp[i][b-i][c],dp[a][i][b-i]),max(dp[a][b][i],dp[b][0][c-i])\}\)，即每次三种切割方式，两种赋值Alice取最大的那种结果。利用决策单调性可以优化到\(O(n^3)\)。

考虑到第一维越长答案也越大，可以把第一维和答案交换。那么可以定义\(dp[a][b][c]\)为答案为\(a\)时\(101\)中有\(b\)个\(0\)和\(c\)个\(1\)时，最长前导\(1\)有多长。然后又可以发现原式中前面的\(1\)和后面的\(1\)是等价的，可以通过枚举\(a,b\)找到一些前导\(1\)和后接\(1\)的pair。因为求的是最长的\(1\)，所以大的pair是可以推出小的pair的，之后再求一个后缀最大值即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int inf=1e9;
constexpr int N(2005),A(25);
int x01[A][N][N];
int main() {
  for(int i=0;i<A;i++) for(int j=0;j<N;j++) fill(x01[i][j],x01[i][j]+N,-inf);
  x01[0][0][0]=1;
  x01[0][1][0]=0;
  x01[0][0][1]=0;
  for(int a=1;a<A;a++) {
    for(int m=0;m<N;m++) {
      vector<int>mx(N,-inf);
      for(int r=0;r<N;r++) { // cut 1
        int l=x01[a-1][m][r];
        l+=x01[a-1][0][m];
        if(l>=0) {
          l=min(l,N-1);
          mx[l]=max(mx[l],r);
          mx[r]=max(mx[r],l);
        }
      }
      for(int m1=0;m1<=m;m1++) { // cut 0
        int m2=m-m1;
        int l=x01[a-1][m1][m2];
        int r=x01[a-1][m2][m1];
        if(l>=0 && r>=0) {
          l=min(l,N-1);
          r=min(r,N-1);
          mx[l]=max(mx[l],r);
          mx[r]=max(mx[r],l);
        }
      }
      for(int r=N-2;r>=0;r--)
        mx[r]=max(mx[r],mx[r+1]); // transform from larger pair
      for(int r=0;r<N;r++)
        x01[a][m][r]=mx[r];
    }
  }

  int n;
  cin>>n;
  for(int m=n;m>=1;m--) {
    int ans;
    for(ans=0;ans<A;ans++) {
      if(x01[ans][m][n-m]>=0)
        break;
    }
    cout<<ans<<" \n"[m==1];
  }

  return 0;
}