hdu6970 I love permutation(2021杭电暑假多校2) 数学

题意

给定两个正整数\(a,P,(a<P)\)，其中\(P\)是一个奇素数。根据\(a\)可以生成一个排列\(b_x=ax\pmod{P},(1\le x\le P-1)\)。询问排列\(b\)的逆序对个数的奇偶性。

分析

通过置换奇偶性的定义我们可以把这题等价为求与群\((\Z/P\Z)^{\times}\)同构的置换群\(Sym(\Z/P\Z)\)中与\(a\)对应的置换\(\sigma_a\)(即\(\begin{pmatrix}1&2&3&\dots P-1\\a&2a&3a&\dots (P-1)a\end{pmatrix}\))的奇偶性。

定义满足\(a^x\equiv1\pmod{P}\)的最小正整数\(x\)为\(\delta_P(a)\)，那么置换\(\sigma_a\)可以表示为\(\frac{P-1}{\delta_P(a)}\)个长度为\(\delta_P(a)\)的轮换。又因为一个轮换的奇偶性与轮换长度\(-1\)相等，所以要求的就是\(\frac{P-1}{\delta_P(a)}(\delta_P(a)-1)\equiv\frac{P-1}{\delta_P(a)}\pmod{2}\)的奇偶性。

我们把\(P-1\)表示为\(2^kp\)，把\(\delta_P(a)\)表示为\(2^lq\)，\(\frac{P-1}{\delta_P(a)}\)为奇数当且仅当\(l=k\)。令\(t=\frac pq\)，则若\(\delta_P(a)=2^lq\mid t(2^{k-1}q)=2^{k-1}p=\frac{P-1}2\)则说明\(l<=k-1\)(即\(\frac{P-1}{\delta_P(a)}\)为偶数)，反之\(\frac{P-1}{\delta_P(a)}\)则为奇数。那么我们就可以通过判断\(a^{\frac{P-1}2}\pmod P\)是否等于\(1\)得到答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
using lll=__int128;

ll mpow(ll a,ll x,ll P) {
  ll ans=1;
  for(;x;x>>=1,a=(lll)a*a%P)
    if(x&1) ans=(lll)ans*a%P;
  return ans;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);
  int t;
  cin>>t;
  while(t--) {
    ll a,P,p;
    cin>>a>>P;
    ll ans=mpow(a,(P-1)/2,P);
    cout<<"01"[ans!=1]<<"\n";
  }
  return 0;
}