尝试讲解一下数字电路和模拟电路的状态方程

        状态方程，也称为状态转移方程。在数字电路的时序逻辑分析和设计中，会用到状态方程。而实际模拟电路中几乎不用，用到的是“电路分析”部分。但是自动控制原理，通常是通过模拟电路实现的，而使用状态方程的方法，通常被称为现代控制理论。这里不研究那么高深的自动控制理论，仅仅简单的通过两个例子，来说明一下，如何使用状态方程，加强一下对状态方程的理解。

        先来看数字电路，以阎石老师版的《数字电子技术基础》为例。时序电路如下：

 

       求解电路的输出，需要三个方程，驱动方程(输入)，状态方程和输出方程。

         我们可以先假定J1的初始状态为0，那么就可以依次求解出后续的状态。我们使用电子表格软件计算。其结果如图1所示。

 

图1 使用电子表格计算状态方程

    为了验证我们这种方式的正确性，使用Quartus进行仿真验证一下。在Quartus中新建电路模块如图2所示。

 

图2 在Quartus中绘制仿真电路

     然后编写testbench，其代码如图3所示。

 

图3 仿真电路的Testbench代码

     仿真结果如图4所示。

 

图4 使用Quartus配合ModelSim的仿真结果

      数字电路的状态方程比较好理解，因为数字电路的输出一般只有两种状态。设置了数字电路的各个“状态”的初值，就可以随着时钟“步进”递推计算下一个状态，而输出的结果就由输出方程控制。模拟电路会相对复杂一些。这里以最简单的L、C、R串联电路为例，讲解状态方程在时域的意义。这里以胡寿松老师版的《自动控制原理》为例，如图5所示。这里为了简化，我们不需要后续的矩阵部分，因为矩阵是给计算机看的。

 

图5 RLC电路的状态方程

      状态方程中，状态变量实际是一个导数，我们将这个导数转换成微分。也就是dx/dt的形式转换成dx的形式，那么就需要方程两边乘以dt，这个就是仿真的“步进”时间。有点类似数字电路的时钟。然后输入方程(驱动方程)就是x=x+dx，这个往往是被忽略的。然后看输出方程，同样是与“状态”有关的值。

        这样只要设置初始值和“步进”时间，就可以递推出不同时刻的输出结果（数字电路是离散的，以时钟周期为步进；而模拟电路是连续的，以微小的时间段为步进，在这个时间段内，微分满足线性）。如图6所示。这里电阻设置为100欧，电感设置为1mH，电容设置为1uF，输入电压的初始值Vin为0，然后阶跃为1，这样就可以测试一个阶跃响应。步进时间设置为Δt=1us。图中同样省略了输入方程(驱动方程)，即x1=x1+Δx1，x2=x2+Δx2。注意，实际的输入Vin设置为直流1V，在0时刻开始阶跃为1V。当然，Vin也可以变化，因为状态变量本来就是支持多输入和多输出的一种计算方法。这里固定Vin是因为计算方便。

 

图6 依据状态方程递推出的输出结果

       接下来使用LTspice来仿真这一电路，仿真结果如图7所示。对比图6和图7的曲线形状，可以看出电子表格的计算结果与仿真软件的结果近似相同。

 

图7 使用电路仿真软件验证RLC串联电路的阶跃响应

        这时可以看出，时间的步进精度，会影响计算结果的精确度，也会影响计算的次数，进而影响到计算时间的长短。状态方程的意义在于，知道当前的状态，就可以递推之后的状态。可以认为是微分方程的一种解法，取中间变量，将微分方程转换为线性方程，进而可以计算机求解。使用状态方程进行自动化控制的方法通常称为现代控制理论，但是实际上这种方法一点也不“现代”，在很早就已经用于微分方程的求解了。但是随着计算机技术的发展进步，这种方法发挥的作用越来越大。状态变量因为更多的依赖于计算机技术，才被称为“现代”控制理论。

        本文对应的仿真电路以及计算用的电子表格都放置到了百度网盘：

链接：https://pan.baidu.com/s/1HTxyS3Xe3J6POsGeK2iV2Q
提取码：ZTFC

       注：本文只是尝试简单直接的方式来理解状态方程。如有错误，请及时指出，谢谢！