布莱克曼阻抗公式的推导

以下内容参考《Analysis And Design of Analog Integrated Circuits,5E》 8.8.2

上图为运放的反馈网络，其中Sic是受控源的输入信号，k是受控源的增益，Sy是受控源输出信号。输入阻抗Zport=Vx/ix，下面就来计算这个输入阻抗。

假设Vx和Sic是ix和Sy的线性函数，可以列出如下的方程：

Vx=a1*ix+a2*Sy

Sic=a3*ix+a4*Sy

这时，假设受控源的增益k=0，Sy=k*Sic=0，Sy=0时，Vx=a1*ix，这时推导出：

Zport(k=0)=Vx/ix=a1

如果改为电流源输入，如下图所示：

如果这时，输入开路，即ix=0，此时Sic= a4*Sy。

保持输入端开路，断开受控源，接入测试源：

此时，Sic=a4*Sy=a4*St，Sr=k*Sic，进而可以得到Sr=k*a4*St，

定义输入端口开路的反馈比为：

Return Ration(Port Open)=-Sr/St(简记作RRO)

代入计算有RRO=-Sr/St=-k*a4。

保持受控源断开状态下，令输入短路，如下图所示：

当输入短路时，Vx=0，Sy=St，所以Vx=a1*ix+a2*Sy=a1*ix+a2*St=0，进而可以求出：Ix=-a2*St/a1。Sic=a3*ix+a4*Sy=a3*(-a2*St/a1)+a4*St，整理有：Sic=(a4-a2*a3/a1)*St。

定义输入端口短路的反馈比为：

Return Ration(Port Short)=-Sr/St(简记作RRS)

又Sr=k*Sic，代入计算有RRS=-Sr/St=-k(a4-a2*a3/a1)

再回到最初的那个公式：

Zport=Vx/ix

而Zport=(a1*ix+a2*k*Sic)/ix， Sic=a3*ix+a4*k*Sic，即Sic=a3*ix/(1-a4*k)，代入有：

Zport=a1*[1-k*(a4-a2*a3/a1)]/(1-k*a4)

而前面计算过：

RRS=-Sr/St=-k(a4-a2*a3/a1)

RRO=-Sr/St=-k*a4

Zport(k=0) =a1

所以：

Zport= Zport(k=0)*(1+RRS)/(1+RRO)

这样就得到了布莱克曼阻抗公式。如果Zport=R，Zport(k=0)=Ro，RRS=Tsc，RRO=Toc，也可以得到另外一种更常见的形式：

R= Ro*(1+Tsc)/(1+Toc)