求解递推数列的成套方法
例子
- 求解 \(\sum\limits_{i = 1} ^ n i ^ 2\)
设它的递推式为
\[R_0 = \alpha
\]
\[R_n = R_{n - 1}＋\delta n^2 + \gamma n + \beta
\]
已知 \(\alpha = \beta = \gamma = 0, \delta = 1\) 时，\(R_n=\sum_{i = 1}^n i^2\)
因为递推式只与参数 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) 相关，可以得出
\[R_n = A(n) \alpha + B(n) \beta + C(n) \gamma + D(n) \delta
\]
那么任意符合上面这个递推式的都可以用这个一般形式得出，强调一下，无论 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) 取什么，\(A(n),B(n),C(n),D(n)\) 都是不变的
这启发我们用一些简单的函数来求解 \(A(n), B(n), C(n), D(n)\)
带入函数1
- 对于 \(f(n) = 1\)
\[f_0 = 1 \to \alpha = 1
\]
\[1 = 1 + \delta n^2 + \gamma n + \beta \to \delta = \gamma = \beta = 0
\]
得出一个关系式
\[1 = A(n)
\]
带入函数2
- 对于 \(f(n) = n\)
\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]
\[n = n - 1 + \delta n^2 + \gamma n + \beta \to \delta = \gamma = 0, \beta = 1
\]
又一个关系式
\[n = B(n)
\]
带入函数3
- 对于 \(f(n) = n^2\)
\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]
\[n^2=(n-1)^2 + \gamma n + \beta + \delta n^2 \to \delta = 0, \beta = -1, \gamma = 2
\]
\[n^2 = -B(x) + 2C(n)
\]
跟上面的式子联立，可以解出 \(C(n) = \frac{n^2 + n} 2\)
带入函数4
- 对于 \(f(n) = n^3\)
\[f_0 = 0 \to \alpha = 0
\]
\[n^3=(n-1)^3 + \gamma n + \beta + \delta n^2 \to \delta = 3, \beta = 1, \gamma = -3
\]
可以解出
\[D(n) = n(n + \frac 1 2) (n + 1)
\]
这个式子是不是有些眼熟，对，它就是平方和公式，只要把 \(\delta\) 设为 1，就可以发现 \(D(n) = \sum_{i = 1} ^ n i^2\)，一开始设它的目的也是这个
一般情况
从上面的例子可以看出，对已一个递推公式来说，最终的封闭形式只与项数 \(n\)，和其中的变量有关
因此我们可以设出封闭形式，并带入简单函数进行求解
需要注意的是，设出的函数必须可解，当带入一个简单函数无法通过 \(\delta,\beta...\) 来得到递推式时，要么考虑换一个函数，要么增加一个变量
这就需要通过做题来增加数学经验了
