浅谈Tarjan算法
- 本文略带简单证明，如有遗漏错误之处，还请不吝指出
有向图tarjan
强连通分量（简单来说）->一个极大子图，其中的点可以互相到达
我们设dfn为时间戳，low为最早能到达的点
当遇到新点时low和dfn初始化为++cnt
先介绍下搜索树中的4种边（实际上重要的只有3种边）：
- 1.后向边->指向未搜索到的点的边
- 2.前向边->指向当前搜索栈中的边（能从指向节点搜到当前节点）
- 3.横插边->指向搜索过的点的边（所指向点不在搜索栈中，区别于2）
（这3种边包含了所有种情况，剩余的边意义不大，本文不做讨论） - 4.树枝边->搜索树中的边
我们先考虑边1，”边1指向的点“ 能到的点，当前点一定能到，所以（当前点为u，指向点为v）low[u]=min{low[v]}
我们再考虑边2，当前点（u）是从搜索栈中搜索过来的，所以边2指向点（v）一定能走到u，u又能再次走到v，于是u，v和他们之间的点构成强联通分量。
接下来考虑边3，边3指向点（v）已经被搜过，且当前点（u）又是新搜到的点，这就说明 点v后向边（1）所连接的所有节点都无法到达u，而点v前向边（2）所指向的节点如果能到u，则v一定还在搜索栈中（一个点如果所有边都遍历过了，且dfn=low才会和它的强联通分量一起出栈）
最后如果一个点（u）的dfn==low就把它和栈中所有在它后面的点出栈,标记为一个强联通分量
所有栈中的点如果没有出栈，一定是dfn！=low也就是能到达栈中其它点，而 ”u后面的点“ 都是可以从u遍历到的，u后面的点 能到达的点，u也能到，所以u就是u后面所有点能到的最早节点。
放张图画得太丑见谅
这里给出模板
void tarjan(int x){
s[stop++]=x;
dfn[x]=low[x]=++cnt;
for(int y,i=head[x];i;i=nxt[i]){
y=ver[i];
if(!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}else if(!sccnum[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);//在栈中
//注意这里无论是写dfn[y]还是low[y]都是对的，实际上无论对
//谁取min都不能准确的求出点x最早能到的节点，但可以标记
//点x属于一个强连通分量，这里写成dfn是为了和求割点统一
}
if(dfn[x]==low[x]){
++scccnt;//连通分量个数
do{
sccnum[s[--stop]]=scccnt;
}while(s[stop]!=x);
}
}
无向图tarjan
同样dfn=时间戳，low为最早能到达的点
因为无向图的点互相联通，无向图上tarjan主要是求割点和割边
这里引入两个概念
- 点双连通分量（简单来说）->一个极大子图，割掉其中任何一个点剩余点依然可以相互到达
- 边双连通分量（简单来说）->一个极大子图，割掉其中任何一条边，剩余点依然可以相互到达
求割点（割掉后图不再联通）
分两种情况
- 1.当前点是根节点
- 2.当前点不是根节点
首先考虑2，当前点如果不是根节点，只需要判断（x为当前点，y为边指向点） low[y]>=dfn[x]即可，因为如果x的儿子到不了x的前面（如果无法到达，y整个连通块编号都大于x），那割掉x后图中至少会有两部分不联通（x前面，和y所在连通块）
接着考虑1，如果根节点有两个不相连的儿子，那根节点就是割点
看一下具体代码
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++cnt;
int sz=0;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(!dfn[y]){
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
++sz;
if(dfn[x]<=low[y]&&x!=start) vis[x]=1;
//如果点y没有通过当前边就能到达 “能到达x点”的点，说明
//即使割掉点x，y依然和到点x前面（在栈中）的点连通，
//对于y来说x就不是割点，否则一定是割点。
}
low[x]=min(low[x],dfn[y]);//使用dfn[y]防止走当前边
//因为是无向图，所以不要求在栈中
}
if(x==start&&sz>=2) vis[x]=1;
if(vis[x])++sum;
}
再放张图，紫色为搜索顺序
小技巧
点双连通分量中任意两点都至少有两条不经过重复点的路径
证明 ：假设只有一条路径，则割掉路径上的一个点，子图就会分裂成两个，不满足点双连通分量定义
求完割点后只需要把割点打上标记，不去遍历，就可以把割点分开的部分缩点。
求割边（割掉后图不再联通）
dfn=时间戳，low=能到达的最早点
有两种求法
1:
考虑当前边连接u，v，当前节点为u，如果点v不走当前边无法到达u前面的点，说明当前边是割边。
代码
void tarjan(int x,int ff){
dfn[x]=low[x]=++cnt;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(i==ff) continue;
if(!dfn[y]){
tarjan(y,i^1);
//存双向边的时候初始化tot=1，这样编号^1就是反边
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(dfn[x]<low[y]) cut[i]=cut[i^1]=true;
//只有在连接一个没有遍历过的点的时候，i才可能是割边
//一个小小的卡常
}else low[x]=min(low[x],dfn[y]);//同理
}
}
2:
考虑当前点（u）和来边 from
如果点u的dfn==low那点u及在点u后面的所有有点都到不了u的前面，此时from就是割边
代码
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++cnt;
s[stop++]=x;
for(int y,i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(i==from[x]^1) continue;//存边方法和原来一样 初始化tot=1，2和3为一对边
if(!dfn[y=ver[i]]){
from[y]=i;
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}else low[x]=min(low[x],dfn[y]);//还是无所谓dfn还是low,因为来的边已经continue掉了
}
if(dfn[x]==low[x]){
++scccnt;
cut[from[x]]=cut[from[x]^1]=true;
do{
sccnum[s[--stop]]=scccnt;
//边双连通分量也能求出
}while(s[stop]!=x);
}
}
两者时间复杂都是O(n)
1求连通分量是O(m),因为并查集每个节点都询问一次总体复杂度是O(m)的（看下文）
再来个图,紫色为遍历顺序
小技巧
边双连通分量中任意两点都至少两条有不经过重复边的路径
证明 :同上
用1求完割边后我们怎么缩点？
使用并查集维护！
考虑所有非割边，它所连接的两个点一定在同一个边双联通分量。
例题
推荐题目: luogu试炼场 强连通分量。。。
加餐
一本通1729
问题简化：如何确定无向图上从s到t有一条（经过“满足XXX条件的边”的“不经过重复边”）路径？
从s向t连一条不满足XXX条件的边，这样如果s有到t的路径则一定在s和t的边双联通分量里,枚举边检查即可。
一本通 1730：二分图
首先跑二分图匹配（匈牙利or网络流），对于每条匹配边，从左边节点向右边节点连一条有向边，对于每条非匹配边，从右往左连一条有向边，如图，红色是匹配边，黑色是非匹配边
如果匹配数小于n，说明没有一条边符合要求
如果当前边是匹配边，这条边符合要求
考虑n=m
如果一条非匹配边所连接的两个点在同一强连通分量里，则这条边符合要求，因为如果从右侧的点一条非匹配边、一条匹配边的走，如果可以走回来，那这两个点就在同一个强连通分量里，这时我们让非匹配边变成匹配边，匹配便变成非匹配边，则当前非匹配边符合要求
考虑n！=m
就会出现下面红黑线连的情况
这时我们只需要新建一个节点，让所有匹配边右面的点连向新点，新点连向所有非匹配边右边的点
这时如果一个边满足要求，它要么是第一种情况，要么，可以走到一个非匹配边右面点再走回来，这时对路径上的边取反，则当前边符合要求
-
code
卡了下常，所以码的十分毒瘤。。。
一本通 1731：最大流
这些都是书：信息学奥赛一本通-高手训练上的题，感觉比较有价值，就放上来，由于书上这道题的题解写的很好，我就荡过来了老实交代，一本通给了你多少钱。。。
注意到题目中点的度不超过3,则两点间的最大流也不超过三，由于最大流又等于最小割，可以从最小割入手考虑两个点（i，j）之间的最大流情况：
1.最小割为0：则点i，j不连通，可以用并查集维护判断。
2.最小割为1：则点i，j联通，但属于不同的边双联通分量，直接用tarjan求解判断;
3.最小割为2 ：则存在一条边被删除后i，j联通，但属于不同的边双连通分量，此时可以枚举每条边，将其删除后再tarjan，记录下每个点在每条边被删除后所属的双连通分量编号。显然每个点都有m个编号，那么对于i，j，只要这m个编号一一对应，就说明会出现情况3。考虑到之需要判断m个编号是否完全一致，可使用hash进行维护，可以使用自然溢出。
4.如果不属于以上3种情况，则最小割为3。
时间复杂度O（M×（N+M））
一开始我竟然想最小割树+HLPP卡常过这题，怕不是高级算法学傻了。。
P4747 [CERC2017]Intrinsic Interval
设原数列为a[i]
对于询问(l,r)，如果l==r显然答案就是(l,r)
考虑r-l>=1的情况，我们设点i代表选点i和点i+1，p[i]代表权值为i的数的位置，对于点i（选i和i+1），我们设l=min(a[i],a[i+1]),r=max(a[i],a[i+1]),那选择点i就要选择min(p[lr])到max(p[lr])-1位置的所有点，这样将问题转换为连通性问题，把点i和min(p[lr])到max(p[lr])-1的所有点连边，显然对于一个强连通分量可以看成一个点，这样图变成一个dag，用拓扑排序求出每个（点所属的强联通分量）能到达的 最左最右区间即可。
考虑到要建的边很多，而所需连边的点又是一段区间我们可以线段树优化建图。
区间最大～最小值可以线段树orST表or平衡树解决
这里简单提一下线段树优化建图，已知线段树上每个节点代表一个区间，首先每个节点要向自己儿子连边，这样每次一个新点向一段区间连边就只需要连log条
