欧拉定理
前言
小技巧
已知 \(a*b \equiv x*b ~(mod~p)\) , 且 \(gcd(b ,p)=1\) ,则 \(a\equiv x~(mod~p)\)
证
移项 \(b*(a-x) \equiv 0~(mod~p)\) 即 $(a-x)b=kp $ ,因为 \(gcd(b,p)=1\) ,所以 \(b|k\) , 所以 \(a-x=p* \dfrac {k}{b}\) , 即 \(a -x\equiv 0~(mod~p)\) , 所以 \(a \equiv x~(mod~p)\)
欧拉函数
1
当p是质数,显然 \(\varphi(p)=p-1\)
2
当p是质数 , \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)，因为 \(p\)是质数，所以只有 \(p\) 的倍数与 \(p\) 不互质，也就是 \(p'=p*K\) , 而 \(K\) 的取值范围只有 \(1\sim p^{k-1}-1\)，剩余的数都与 \(p\) 互质 , 所以小于 \(p^k\)的数有 $p^k -1 $ 个, 还有\(p^{k-1}-1\) 个与 \(p\) 不互质的数则
\(\varphi(p^k)=p^k-1-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}\)
(建议3,4一起看)
3
当 \(gcd(a,b)=1\) 时 \(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
证
$\varphi(a)=a\prod(1-\frac 1{p_i}) ,\varphi(b)=b\prod'(1-\frac 1{p_i}) $
因为 \(gcd(a,b)=1\) , 所以 \(\prod(1-\frac 1{p_i})\)和\(\prod'(1-\frac 1{p_i})\) 可以合并 , \(a*b=a*b\) , 所以 \(\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)\)
4
当 \(p=\prod p_i^{k_i}\) , (\(p_i\) 为 \(p\) 的质因子) 时 \(\varphi(p)=p*\prod (1-\frac{1}{p_i})\)
证
由2知 \(\varphi(p)=\prod(p_i^{k_i}-p_i^{k_i-1})\) , 每项提出来一个 \(p_i^{k_i}\) 式子变为 $\prod p_i^{k_i}* \prod(1-\frac{1}{p_i}) $
而 \(\prod p_i^{k_i}=p\) , 所以\(\varphi(p)=p*\prod (1-\frac{1}{p_i})\)
欧拉定理
已知 \(a,p\) 当 \(gcd(a,p)=1\) 时, \(a^{\varphi(p) } \equiv 1~(mod~p)\)
证明
\(p\) 的剩余系为 \(p_1,p_2~,~p_3~,~...~,~p_{\varphi(p)}\) , \(p_i\) 为与 \(p\) 互质的数
所有数同时乘 $a,(gcd(a,p)=1) $ 得
\(p_1*a~,~p_2*a~,~p_3*a~,~...~,~p_{\varphi(p)}*a\)
\(p_1*a~,~p_2*a~,~p_3*a~,~...~,~p_{\varphi(p)}*a\) 成为了一个 \(p\) 的剩余系
我们用反证法
假设\(p_i*a \equiv p_j*a~ (mod~p)\) 且 $i \ne j $,则 \(a*(p_i-p_j) \equiv 0\) , 即 \(a*k=p*k'\), 因为 \(gcd(a,p)=1\) 所以 \(a|k',p_i-p_j=p*\frac {k'}{a}\) , 即 \(i =j\) 与 \(i \neq j\) 矛盾
那么我们说 \(\prod\limits_{i=1}^{\varphi(p)} p_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\varphi(p)} (p_i*a)~(mod~p)\) ,
将 \(a\) 提出
\(\prod\limits_{i=1}^{\varphi(p)} p_i \equiv \prod\limits_{i=1}^{\varphi(p)} p_i*a^{\varphi(p)}~(mod~p)\)
根据小技巧
因为 \(gcd(\prod\limits_{i=1}^{\varphi(p)} p_i, p)=1\)
所以 \(a^{\varphi (p) } \equiv 1~(mod~p)\)
证毕
