除法分块

part 1

对于

\[\sum\limits_{i=1}^n \left \lfloor \frac n i \right \rfloor \]

最多只有 \(2 * \sqrt n\) 个取值

证明

显然

part 2

当 $ l = i $ 时 ， \(r = \left \lfloor \frac n {\left \lfloor \frac n l \right \rfloor} \right \rfloor\) , 此时

\[\forall x \in [l,r] ,\forall y \in [l,r] \]

\[\left \lfloor \frac n x \right \rfloor = \left \lfloor \frac n y \right \rfloor \]

且 \(r\) 就是这个值 $ (\left \lfloor \frac n l \right \rfloor)$ 的右边界

证明 ( 反证法 )

首先 \(\left \lfloor \frac n l \right \rfloor = \left \lfloor \frac n r \right \rfloor\) 即 \(\left \lfloor \frac n l \right \rfloor = \left \lfloor \frac n {\left \lfloor \frac n {\left \lfloor \frac n l \right \rfloor} \right \rfloor} \right \rfloor\)

设 \(t = \left \lfloor \frac n l \right \rfloor , n = t * l + r , l> r\) , 那么原式 $ = \left \lfloor \frac n {\left \lfloor \frac {t * l + r} {t} \right \rfloor} \right \rfloor $ , 对 $ t < rand t >= r $，分类讨论即可

如果 \(r\) 不是右边界，则一定有 \(t = \left \lfloor \frac n {r+1} \right \rfloor = \left \lfloor \frac n r \right \rfloor\)

则 $ n \geq t * (r+1) , \left \lfloor \frac n t \right \rfloor \geq \frac{(r + 1) * t}{t}, \left \lfloor \frac n t \right \rfloor \geq r + 1 $

根据定义 \(\left \lfloor \frac n t \right \rfloor = r , r \geq r + 1\) ，与事实不符