常见数列
全0
\[F_i = 0
\]
斐波那契数列：
\[F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}, F_1 = F_2 = 1
\]
错排
递推式：
\[D_n = (n - 1) (D_{n - 1} + D{n - 2})
\]
考虑最后一个元素插入即可
通项式：
\[D_n = n! \sum_{i = 0}^{n}(-1)^i \frac 1 {i!}
\]
带入：
设
\[M_i = \frac 1 {i!} D_i
\]
\[i!M_i = (i - 1) ((i - 1)!M_{i - 1} + (i -2)!M_{i - 2})
\]
\[i M_i = (i - 1)M_{i - 1} + M_{i - 2} = i*M_{i - 1} - M_{i - 1} + M_{i - 2}
\]
\[i(M_i - M_{i - 1}) = -(M_{i -1} - M_{i - 2})
\]
\[(i - 1)(M_{i - 1} - M_{i - 2}) = -(M_{i - 2} - M_{i - 3})
\]
\[(M_i - M_{i - 1}) = (-1) ^ i \frac 1 {i!}
\]
\[M_n = \sum_{i = 0} ^ n (-1)^i \frac 1 {i!}
\]
带回得出
容斥：
设 \(i\) 个位置的数相同
\[D_i = \sum_{i = 0} ^ n (-1)^i \binom n i (n - i)!
\]
\[= \sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \frac {n !} {i! (n - i)!} (n - i)!
\]
\[= n! \sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \frac 1 {i!}
\]
卡特兰数：
\[C_0 = 1
\]
递推式：
\[C_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}
\]
新括号 -> $ () $ 旧括号 -> $ |$
\[| ( ( ) ) | ( ) ( )
\]
通项式：
\[C_n = \binom {2n} {n} - \binom {2n} {n + 1}
\]
画图理解。。。
第一类斯特林数
\(n\) 个相同元素放到 \(m\) 个非空环上
递推式：
\[\begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 \\ m - 1\end{bmatrix} + (n - 1)\begin{bmatrix} n - 1 \\ m\end{bmatrix}
\]
考虑第 \(n\) 个元素, 可以新占一个环，也可以加入一个环
如果是加入环，放的位置只和它的前驱有关，一共有 \((n - 1)\) 个前驱
第二类斯特林数
\(n\) 个相同元素放到 \(m\) 个非空集合中
\[\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} n - 1 \\ m - 1 \end{Bmatrix} + m \begin{Bmatrix} n - 1 \\ m \end{Bmatrix}
\]
考虑第 \(n\) 个元素, 可以新占一个集合，也可以加入一个集合
如果是加入集合，放的位置只和它的集合是谁有关，一共有 \(m\) 个集合
通项：
考虑对集合容斥
先将所有集合标号
\(i\) 表示选 \(i\) 个空集合
\[\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} = \frac 1 {m!}\sum_{i = 0} ^ m (-1)^i \binom m i (m - i) ^n
\]
$ \dfrac 1 {m!} $ 抵消掉标号的影响
贝尔数
\[B_0 = 1
\]
\(n\) 个元素分入若干个非空集合的方案数
\[B_n = \sum_{i = 0}^n \begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix}
\]
递推式：
考虑第 \((n + 1)\) 个元素的所在集合大小为 \(k + 1\)（算上自己）
\[B_{n + 1} = \sum_{k = 0}^n \binom n {n - k} B_{n - k} = \sum_{k = 0}^n \binom n k B_k
\]
调和级数
\[H_n = \sum _{i = 1} ^ n \frac n i = ln~n + O
\]
\(O\) 为常数
