Min-Max 容斥
普通容斥
\[\bigcup_{i = 1} ^ n A_i = \sum_{k = 1} ^ n (-1)^{k + 1} \begin{pmatrix} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2< ... <i_k \leq n} |A_{i_1} \cap ... A_{i_k}|\end{pmatrix}
\]
Min - Max 容斥
\[max \{ S \} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} min\{T\}
\]
\[min \{ S \} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} max\{T\}
\]
- 证明
考虑 \(T\) 中的每一个元素 \(A_i\) 将它看成一个集合
\[A_i = \{1,2, 3,...,a_n\} (a_n = A_i)
\]
这样
\[min\{T\} = A_1 \cap... \cap A_{|T|}
\]
\[max\{S\} = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_{|S|}
\]
\[max\{S\} = \bigcup_{i = 1} ^ n A_i
\]
\[= \begin{pmatrix} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2< ... <i_k \leq n} |A_{i_1} \cap ... A_{i_k}|\end{pmatrix}
\]
\[= \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1} min\{T\}
\]
第二个式子就是把所有数取负
。。。
