容斥原理
容斥原理
\[\bigcup_{i = 1} ^ n A_i = \sum_{k = 1} ^ n (-1)^{k + 1} \begin{pmatrix} \sum\limits_{1 \leq i_1 < i_2< ... <i_k \leq n} |A_{i_1} \cap ... A_{i_k}|\end{pmatrix}
\]
证明
考虑每个元素对集合的贡献
元素 \(i \in A_{k_1}, A_{k_2}, A_{k_3}..., (\sum A_i = k)\)
对于出现在 \(m\) 个集合内的情况 \(i\) 的系数 \(= \binom k m * (-1) ^ {m + 1}\)
\(i\) 的系数 \(= \sum_{i = 1} ^ k \binom k i (-1) ^ {i + 1}\)
\[(x + (-1))^k = \sum_{i = 0} ^ k \binom k i (-1) ^ i x
\]
当 \(x = 1\) 时
\[\sum_{i = 1} ^ k \binom k i (-1) ^ {i + 1} = -1 * (1 - 1)^k + \binom k 0 = 1
\]
所以每个元素最终的系数都是1
证毕
