泰勒展开

泰勒展开是什么

用多项式来拟合一个函数，比如你是泰勒，你想求 \(sin(x)\)，我们在小学二年级的时候学过，sin(x) 可能是无理数，那我只需要一定的精度就可以了，\(sin(x)\) 是弯的，那多项式也是弯的，用多项式来拟合 \(sin(x)\) 不就完了

泰勒展开

\[g(x) = \frac {f(a)} {0!} + \frac {f'(a)} {1!}(x - a) + \frac{f''(a)} {2!}(x - a)^2 + ... + \frac {f^{(n)}(a)} {n!}(x - a)^n + R_n(x) \]

\[= \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {f^{(i)}(a)} {i!}(x - a)^i \]

\(R_n(x)\) 是余项，\(R_n(x) = \sum_{i = n + 1} ^ {\infty} \frac {f^{(i)}(a)} {i!} (x - a) ^ i\)，可以发现，\(n\) 越大，\(R_n(x)\) 越小
当\(x = a\) 时 \(g(x) = f(x),R_n(x) = 0\)

这个 \(a\) 是什么呢？这要从泰勒展开是怎么来说起

证明

首先这个函数能泰勒展开，它要求能无限求导(显然是废话，不能无限求导还展开啥)
比如我要对 \(f(x)\) 泰勒展开,我有 \(f(x)\) 在 \(a\) 点的点值 \(f(a) = y\)，现在我想求得一个多项式 \(g(x)\) 让 \(g(x) = f(x)\)，如果说 \(g(x) = f(x)\) 那 \(g'(x) = f'(x)\),他们导数的导数还是相等
我们设 \(g(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式，第一步 我选择 \(0 ,f(0)\) 作为起始点

\[f(0) = g(0), \frac {f(0)} {0!} = a_0 \]

继续往后推

\[f'(0) = g'(0), \frac {f'(0)} {1!} = a_1 \]

\[f''(0) = g''(0), \frac {f''(0)} {2!} = a_2 \]

显然

\[f(x) = \sum_{i = 0} ^ {\infty} \frac {f^{(i)}(0)} {i!} x^i \]

这就是 麦克劳林公式 \(OI\) 中最常用的就是这个公式了
如果将 \(a, f(a)\) 作为起始点，最终推导就是泰勒多项式了(其实是我不会证明)

这时我们发现，虽然泰勒展开了，但是还有个余项 \(R_n(x)\)，因为我们不可能求出一个无限项的多项式，计算机也做不到。这时可以近似一个余项来减小误差

拉格朗日余项

待填