函数极限
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一空心邻域内有定义，如果存在常数 \(A\)，对于任意给定正数 \(\xi\)（无论它多么小），总存在正数 \(\delta\)，使得对于 \(0 < |x - x_0| < \delta\)，均有 \(f(x) - A < \xi\) 那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) 时的极限，记作
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = A
\]
导数与斜率
斜率：函数在某点的变化率
对于一次函数 \(y = kx + b\) 来说，斜率为 \(k\)
导数：函数斜率的函数
\[f'(x) = \lim_{\delta \to 0} \frac {f(x_0 + \delta) - f(x_0)} {\delta}
\]
为了方便起见，下文中没有特殊规定则 \(\delta \to 0\) \(( delta)\)
导数存在性：从左侧与右侧趋近时极限相同才可定义导数
\[\lim_{\delta \to 0^-} \frac {f(x_0 + \delta) - f(x_0)} {\delta} = \lim_{\delta \to 0^+} \frac {f(x_0 + \delta) - f(x_0)} {\delta}
\]
函数存在拐点则无导数
求导
对于一些简单的式子，可以用上方公式随便推导比如
\[f = sin(x), f' = cos(x)
\]
\[\begin{aligned}
f' &= \frac {sin(x + \delta) - sin(x)} \delta \\
&= \frac {sin(x)cos(\delta) + cos(x)sin(\delta)- sin(x)} \delta \\
&= \frac {cos(x)sin(\delta)} \delta \\
&= cos(x)
\end{aligned}\]
\(\frac {sin(\delta)} \delta = 1\) 因为这相当于 对边/弧长
\[f(x) = x ^ a, f'(x) = a x ^ {a - 1}
\]
\[\begin{aligned}
f'(x) &= \frac{(x + \delta) ^ a - x^a} \delta \\
&= \frac{\sum_{i = 0} ^ a \binom a i x^i \delta^{a - i} - x^a} \delta \\
&= a x^{a - 1}
\end{aligned}\]
消一消项就行了，因为 \(\delta\) 太小，所有乘了 \(\delta\) 的都变成 \(0\) 了
对于复杂的式子，证明过于复杂，用的时候不可能每次都推，所以要记住结论
\[\begin{aligned}
f &= c, f' = 0 \\
f &= x ^ n, f' = n x ^ {n - 1} \\
f &= sin(x), f' = cos(x) \\
f &= cos(x), f' = -sin(x) \\
f &= tan(x), f' = \frac 1 {cos^2(x)} \\
f &= ln(x), f' = \frac 1 x \\
f &= log_a(x), f' = \frac 1 {a ln(a)} \\
f &= e ^ x, f' = e ^ x \\
f &= a ^ x, f' = a ^ x ln(a)
\end{aligned}\]
求导法则
\[\begin{aligned}
(f + g)' &= f' + g' \\
(f * g)' &= f'g + g'f \\
(\frac f g)' &= \frac {f'g - g'f} {g^2} \\
(c f(x))' &= c f'(x) \\
f(g(x))' &= \frac {df} {dg} * \frac {dg} {dx} = \frac {df} {dx} = f'(g(x))g'(x)
\end{aligned}\]
洛必达法则
若 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 在空心邻域 \(a\) 内为 \(0\)，即 \(\frac 0 0\) 则
\[\lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{\frac{f(x) - f(a)} {x - a}} {\frac{g(x) - g(a)} {x - a}} = \frac{f'(x)} {g'(x)}
\]
无约束函数极值
最值点导数一定为零，否则可以更优
\[f'(x) = 0
\]
牛顿迭代法
我愿称之为，玄学迭代法
寻找函数的根，函数要是没根都停不下来
比如我当前在点 \(x\)，每次让 \(x = x - len\)，\(len = \frac {f(x)} {f'(x)}\) 画个图就明白了
\(f(x) < eps\) 就停止，碰着玄学函数根本就停不下来，但是一般函数又莫名的快 $\sqrt \ $ 缩减
定积分
\[\int_l^r f(x) dx
\]
大家都知道 \(\sum_{i = l} ^ r x * 1\) ，这个式子就是把 \(i\) 每次加 \(dx,dx\) 非常小
如果
\[f(x)= g'(x)
\]
则
\[\int_l^r f(x) dx = g(r) - g(l)
\]
\(g(r) - g(l)\) 记作 \([g(x)]_l ^r\)
证明
\[f(x) = \frac {dg} {dx}
\]
\[\int_l^r f(x) dx = \int_l^r dg = [g(x)]_l^r
\]
不定积分
在微积分中，一个函数 \(f\) 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于 \(f\) 的函数 \(F\)，即 \(F ' = f\)。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中 \(F\) 是 \(f\) 的不定积分。
在 \(OI\) 中常用来调整生成函数次幂与系数的关系
积分与概率期望
自适应辛普森积分法
常用来求不规则平面图形面积，比如圆的面积并
求 \([a,b]\) 的面积
\[S_a^b = \frac {b - a} 6 * (f(a) + 4f(\frac {a + b} 2) + f(b))
\]
其实就是用二次函数拟合不规则曲线
当
\[\int_a^b f(x) dx - (\int_a^{\frac {a + b} 2} f(x) dx+ \int_{\frac{a + b} 2}^b f(x) dx) < eps
\]
停止递归
偏导数
对于多元函数 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处固定 \(y\) 不变移动 \(x\)，可以得到一个单变量 \(g(x)\)，同理固定 \(x\) 不动，可以得到 \(h(y)\)
求偏导时将另一个变量当作常数即可
梯度
\(f'(x, y) = (g(x), h(y))\)
函数上升最快的方向就是 \((g(x), h(y))\)
函数最优化
给定多元函数 \(f(x_1, x_2, x_3...)\) 求 \(f(x)\) 极值
模拟退火
粒子群优化（微粒群算法）
拉格朗日乘数法（下面）
拉格朗日乘数法（有约束函数极值）
给定多元函数 \(f(x)\) 求极值，且满足限制 \(g_1(x) = 0, g_2(x) = 0\)
引入拉格朗日乘子，将函数升到高维空间
\[f(x, \lambda_1, \lambda_2) = f(x) + \lambda_1g_1(x) + \lambda_2g_2(x)
\]
函数极值偏导显然为 \(0\)
\[\begin{aligned}
\nabla_x f(x, \lambda_1, \lambda_2) &= 0 \\
\nabla_\lambda f(x, \lambda_1, \lambda_2) &= 0\\
\end{aligned}\]
这样我们将极值问题转化为了解方程
实际上引入的两个拉格朗日乘子 \(\lambda_1,\lambda_2\) 可以看作 \(\infty\)，它的作用是约束函数，一旦函数不满足限制条件则偏导一定不为零
End ?
