前置芝士
普通型生成函数
是什么？
对于一个无穷项的序列 \(a_0, a_1, a_2, a_3,...\)，定义它的普通生成函数为
\[f(x) = \sum_{i = 0} ^ \infty a_i x^i
\]
这里 \(x^i\) 仅仅是用作记号
比如我有好多种物品\((a, b, c)\)，每种物品分别有 \(k_i\) 种重量，每种物品只能选一个，求重量是 \(t\) 的方案数
我们让
\[(x^{a_{x_1}} + x^{a_{x_x}}+...) * (x^{b_{x_1}} + x^{b_{x_2}} + ...) * (x^{c_{x_1}}+...)
\]
最终答案就是 \(x^t\) 的系数
指数生成函数
定义：
对于一个无穷项序列 \(a_0, a_1, a_2, a_3,...\)，定义它的指数生成函数为级数：
\[\sum_{k = 0} ^ \infty a_k \frac {x ^ k} {k!}
\]
普通生成函数一般用来解决无标号计数问题，指数生成函数常用来解决带标号计数问题。
一般我们给一个排列戴个帽子表示指数生成函数 \(p(n) \to \widehat{p}(x)\) 大小写随意
泰勒级数
就是一些特定式子泰勒展开后类似生成函数的形式
常见的泰勒级数
\[\begin{aligned}
e^x &= \sum_{n = 0} ^ \infty \frac {x ^ n} {n!} \\
ln(x + 1) &= \sum_{n = 1} ^ \infty \frac {(-1)^{n + 1}} n x^n \\
\frac 1 {1 - x} &= \sum_{n = 0} ^ \infty x^n \\
sin(x) &= \sum_{n = 0} ^ \infty \frac {(-1) ^ n} {(2n + 1)!} x^{2n + 1} \\
cos(x) &= \sum_{n = 0} ^ \infty \frac{(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} \\
(1 + x)^a &= \sum_{n = 0} ^ \infty \frac{a^{\underline{n}}} {n!} x^n
\end{aligned}\]
小问号，你是否有很多朋友？看看麦克劳林展开就没了，咳咳
一些结论
part1
- 当 \(p_n\) 可以表示成一些 \(c_k\) 的不交并，\(\widehat{p}(x) = e^{\widehat{c}(x)}\)
举个例子，排列 \(p(n) = n!\)，环排列 \(c(n) = (n - 1)!\)
我们在小学二年级的时候学过，排列可以看成置换，置换由一些轮换组成，也就是说，排列由一些环排列组成
\[\begin{aligned}
\widehat{p}(x) &= \sum_{n = 0} ^ \infty p(n) \frac{x^n} {n!} = \frac 1 {1 - x} \\
\widehat{c}(x) &= \sum_{n = 0} ^ \infty c(n) \frac{x ^ n} {n!} = -ln(1 - x) = ln(\frac{1} {1 - x}) \\
\widehat{p}(x) &= e^{\widehat{c}(x)}
\end{aligned}\]
但是我们想要证明这个结论，不能用到 \(p\) 和 \(c\) 的性质
设 \(q_k(n)\) 表示由 \(k\) 个轮换组成的大小为 \(n\) 的置换的方案数
枚举排列由几个环排列组成
\[\begin{aligned}
p(n) &= \sum_{k = 0} ^ n q_k(n) \\
\widehat{p}(x) &= \sum_{n = 0} ^ \infty \sum_{k = 0} ^ n q_k(n) \frac{x^n} {n!} \\
&= \sum_{k = 0} ^ \infty \sum_{n = 0} ^ \infty \frac{q_k(n) x^n} {n!}
\end{aligned}\]
考虑怎么求 \(q_k(n)\)，首先 \(q_1(n) = c(n),\widehat{q_1}(x) = \widehat{c}(x)\)
在求 \(q_2\) 的时候考虑枚举一个环的大小，把 \(c(0)\) 看做 \(0\)
\[q_2(n) = \frac 1 2 \sum_{k = 0} ^ n \binom n k c(k) c(n - k)
\]
因为 \(\binom n k\) 是随便选一个环，我想要的是含有编号 \(1\) 的第一个环，枚举会重复所以 \(/2\)，那么
\[\begin{aligned}
\widehat{q_2}(x) &= \frac 1 2 \sum_{n = 0} ^ \infty \frac{x ^ n} {n!} \sum_{k = 0} ^ n \binom n k c(k) c(n - k) \\
&= \frac 1 2 \sum_{n = 0} ^ \infty \sum_{k = 0} ^ n \frac{c(k) x^k} {k!} \frac{c(n - k) x^{n - k}} {(n - k)!} \\
&= \frac 1 2 \widehat{c}(x) ^ 2
\end{aligned}\]
继续推 \(q_3(n)\) 发现
\[\widehat{q_3}(x) = \frac 1 {3!} \widehat{c}(x)^3
\]
于是我们知道了
\[\widehat{q_k}(x) = \frac 1 {k!} \widehat{c}(x) ^ k
\]
那么,设 \(\widehat{q_0}(x) = \frac 1 {0!}\widehat{c}(x)^0\)
\[\widehat{p}(x) = \sum_{k = 0} ^ \infty \widehat{q_k}(x) = \sum_{k = 0} ^ \infty \frac {\widehat{c}(x)^k} {k!} = e^{\widehat{c}(x)}
\]
证毕
错排数的生成函数
考虑错排也是排列，只不过轮换的大小 \(>1\)
回到之前的式子，让\(c(1) = 0\)，就完美满足了轮换 \(>1\) 的要求
那 \(\widehat{c}(x)\) 没有了 \(\frac {c(1)} {1!} x^1\) 新的 \(\widehat{c}'(x) = \widehat{c}(x) - x\)
\[\widehat{P}(x) = e^{\widehat{c}(x) - x} = e^{ln(\frac 1 {1 + x}) - x} = \frac {e^{-x}} {1 - x}
\]
无向联通图的生成函数
我们要求出无向联通图的生成函数 \(\widehat{B}(x)\)
考虑无向图个数 \(a(n) = 2^{\binom n 2}\)
无向图是无向联通图的不交并
\[\widehat{A}(x) = e^{\widehat{B}(x)}
\]
\[\widehat{B}(x) = ln(\widehat{A}(x))
\]
多项式操作
