2-SAT

是什么？

\(n\) 个变量，每个变量取 0 \(or\) 1 表示取或不取，满足一些约束

• \(a\ xor\ b = 1\)：\(a\) 和 \(b\) 有一个选，一个不选
• \(a\ xor\ b = 0\)：\(a\) 和 \(b\) 要么都选，要么都不选
• \(a\ or\ b = 1\)：\(a\) 或 \(b\) 至少选一个
• \(a\ or\ b = 0\)：\(a\) 和 \(b\) 都不能选
• \(a\ and\ b = 1\)：\(a\) 和 \(b\) 必须都选
• \(a\ and\ b = 0\)：\(a\) 和 \(b\) 可以选一个或者不选

怎么做？

我们把一个点拆成两个，\(x, \neg x\)
考虑上面的关系，如果选 \(a\) 必须选 \(b\) 的话就从 \(a\) 向 \(b\) 连一条边
比如 \(a\ xor\ b = 1\)，选 \(a\) 就必须选 \(\neg b\)，选 \(b\) 就必须选 \(\neg a\) 所以连边 \((a, \neg b), (\neg a, b), (b, \neg a), (\neg b, a)\)

其他关系同理，这里列出

• \(a\ xor\ b = 1\)：\((a, \neg b), (\neg a, b), (b, \neg a), (\neg b, a)\)
• \(a\ xor\ b = 0\)：\((a, b), (\neg a, \neg b)\)
• \(a\ or\ b = 1\)：\((\neg a, b), (\neg b, a)\)
• \(a\ or\ b = 0\)：\((a, \neg a), (b, \neg b)\)
• \(a\ and\ b = 1\)：\((\neg a, a), (\neg b, b)\)
• \(a\ and\ b = 0\)：\((a, \neg b), (b, \neg a)\)

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连完边后，\(tarjan\) 求强联通分量，如果 \(x\) 和 \(\neg x\) 在同一个强联通分量里，则无解，否则必有至少一组解

对于 \(x\) 必选连边 \((\neg x, x)\) 和 \(x\) 必不选连边 \((x, \neg x)\) 你可能有些疑惑，接下来看了如何求解就没了

首先缩点，在同一个强连通分量里的点要选必须一起选，然后对缩完点后的 \(DAG\) 求一个拓扑序

考虑 \(a \to b\) 表示 \(a\) 能到达 \(b\)，也就是选 \(a\) 必须选 \(b\)
如果 \(a\) 和 \(\neg a\) 不联通，那它们随便取
如果 \(a \to \neg a\) 选 \(\neg a\) 不冲突
如果 \(\neg a \to a\) 选 \(a\) 不冲突

求出拓扑序后，如果 \(\neg a\) 在 \(a\) 前面则选 \(a\) 否则选 \(\neg a\)，这样为什么是对的呢 ?
观察上面的边，发现他们是对偶的，如果 \(a\) 和 \(b\) 在同一个强联通分量中，那么 \(\neg a\) 和 \(\neg b\) 一定在一起

• 例题 POI 2011 Consprirary

没了